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| Autor |
 Konvergenz und Divergenz |
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Limasmathehilfe
Aktiv 
Dabei seit: 23.10.2021
Mitteilungen: 38
 |  Themenstart: 2022-11-09
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Wie genau berechnet man die Grenzwerte ?
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55047_F3354FC5-6981-4A96-B61C-569ED1FF9122.png
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Qing
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Dabei seit: 11.03.2022
Mitteilungen: 287
| Beitrag No.1, eingetragen 2022-11-09
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Hallo,
a) Standardtrick: Ausklammern und kürzen der höchsten n-Potenz in Zähler und Nenner, und dann ausnutzen, dass Folgen der Form 1/n Nullfolgen sind, also die Grenzwertsätze anwenden, bzw. dann Divergenz ablesen.
b) Standardtrick: Wende die dritte binomische Formel an, und Erweitere dementsprechend.
c) Erstmal kann man viel kürzen. Wie geht es dann wohl weiter?
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Diophant
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Dabei seit: 18.01.2019
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 | Beitrag No.2, eingetragen 2022-11-09
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Hallo,
\quoteon(2022-11-09 17:06 - Limasmathehilfe im Themenstart)
Wie genau berechnet man die Grenzwerte ?
\quoteoff
Indem man zunächst einmal überlegt, wo es da überhaupt etwas zu berechnen gibt.
Versuche bei der a), einen möglichen Grenzwert durch eine geeignete Vermutung zu ermitteln und weise den dann mit der Definition der Folgenkonvergenz nach.
Die b) ist ein Klassiker: erweitere den Term so zu einem Bruch, dass du im Zähler ein 3. Binom bekommst (dann wirst du im Zähler die Wurzelzeichen los).
Bei der c) könntest du den Bruch vereinfachen, dann solltest du sehen, welcher Fall hier vorliegt.
Gruß, Diophant
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
[Verschoben aus Forum 'Grenzwerte' in Forum 'Folgen und Reihen' von Diophant]
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Limasmathehilfe
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-09
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Kommt bei bn –1/2 raus ?
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]
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Diophant
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| Beitrag No.4, eingetragen 2022-11-09
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Hallo,
\quoteon(2022-11-09 17:31 - Limasmathehilfe in Beitrag No. 3)
Kommt bei bn –1/2 raus ?
\quoteoff
Ja.
Gruß, Diophant
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Limasmathehilfe
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-09
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Ich bekomme bei a etwas negatives im Zähler raus , dann springen die Werte doch ständig vom negativen ins positive, ist die Folge dann divergent ?
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Diophant
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Dabei seit: 18.01.2019
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| Beitrag No.6, eingetragen 2022-11-09
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
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\quoteon(2022-11-09 18:05 - Limasmathehilfe in Beitrag No. 5)
Ich bekomme bei a etwas negatives im Zähler raus , dann springen die Werte doch ständig vom negativen ins positive, ist die Folge dann divergent ?
\quoteoff
Betrachte in dem Zusammenhang doch auch einmal noch den Nenner, das ist hier entscheidend. Im Prinzip läuft es hier auf die Frage hinaus, was
\[\lim_{n\to\infty}\frac{3^n}{2^{2n}}\]
ist...
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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Limasmathehilfe
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|  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-09
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Ist das die vereinfachte Form der Folge ? 😮
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Diophant
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| Beitrag No.8, eingetragen 2022-11-09
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\quoteon(2022-11-09 18:18 - Limasmathehilfe in Beitrag No. 7)
Ist das die vereinfachte Form der Folge ? 😮
\quoteoff
Nein, so würde ich es nicht nennen. Es ist nur so, dass Exponentialfunktionen mit Basis >1 schneller wachsen als jedes Polynom. Und insofern kann man den obigen Grenzwert einmal ersatzweise betrachten, um zu sehen, wohin die Reise geht (da spielt auch das wechselnde Vorzeichen von \((-3)^n\) in dem Fall keine Rolle).
Dann muss man noch überlegen, wie man argumentiert. Das hängt auch noch davon ab, was zur Verfügung steht.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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Limasmathehilfe
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-09
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Diophant
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Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.10, eingetragen 2022-11-09
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
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\quoteon(2022-11-09 18:25 - Limasmathehilfe in Beitrag No. 9)
Geht die Reise gegen 0 ?
\quoteoff
Ja, genau. \(3^n\) wächst schneller als \(2^n\):
\[3^n\pm 2^n=3^n\left(1\pm\left(\frac{2}{3}\right)^n\right)\]
Das geht für große \(n\) also asysmptotisch gegen \(3^n\). Also können wir oben einmal alles andere außer der \((-3)^n\) vergessen. Unten das gleiche, da bleibt nur die Zweierpotenz stehen. Die +1 im Exponenten ist einfach nur ein konstanter Faktor, die kann man also in diesem Fall auch weglassen. Und dann bleibt \((-3)^n/2^{2n}=(-3/4)^n\). Und das geht für \(n\to\infty\) gegen Null.
Das war jetzt sozusagen Prosa. Daraus solltest du jetzt noch eine saubere mathematische Argumentation basteln.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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