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| Autor |
 Matrizenrechnung |
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mischka
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 31.10.2012
Mitteilungen: 108
 |  Themenstart: 2022-11-11
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Hi,
ich habe eine Aufgabe gesehen, die ich nicht lösen konnte, daher wollte ich mal um Hilfe bitten:
Es sei \(n\in\mathbb{N}\) und \(A\in M_n(\mathbb{R})\) mit \(A=(a_{ij})_{1\leq i,j\leq n}\). Wir sagen \(A\) besitzt die Eigenschaft \((H)\), wenn \(a_{ij}\in\lbrace -1,1\rbrace\) für alle \(i,j\in\lbrace 1,\dots,n\rbrace\) und \(AA^T = nI_n\) gilt. Im folgenden sei \(A\) stets eine Matrix, welche die Eigenschaft \((H)\) erfüllt. Zeigen Sie:
(a) \(\text{det}(A) = n^{\frac{n}{2}}\)
Das war einfach:\[\text{det}(nI_n) = n^n\\
\text{det}(A\cdot A^T) = n^n\\
\text{det}(A)\cdot\text{det}(A^T) = n^n\\
\text{det}(A)\cdot\text{det}(A) = n^2\\
\text{det}^2(A) = n^2\\
\text{det}(A) = \sqrt{n^2} = n^{\frac{n}{2}}\]
(b) Es ist \(A^TA = nI_n\)
Auch das war einfach, da wir wissen, dass \(A\) und auch \(A^T\) vollen Rang hat, da wir andernfalls nicht durch Multiplikation ein Vielfaches der Einheitsmatrix erhalten könnten:\[ AA^T = nI_n\\
A^{-1}AA^T = nA^{-1}I_n\\
A^T=nA^{-1}\\
A^TA=nA^{-1}A\\
A^TA=nI_n\]
(c) Es ist \(n=1, n=2\) oder \( n\in\lbrace 4k | k\in\mathbb{N}\rbrace\).
An dieser Stelle komme ich nicht weiter:
Dazu gab es folgenden Hinweis:
(Hinweis: Angenommen es ex. \(A ∈ M_n(K)\) mit Eigenschaft \((H)\). Zeigen Sie, dass wenn Sie in \(A\) eine Zeile oder eine Spalte mit \(-1\) multiplizieren, dann wieder eine Matrix entsteht, die die Eigenschaft \((H)\) erfüllt. Folgern Sie, dass eine \((H)\) erfüllende Matrix in \(M_n(K)\) existiert, deren ersten Spalte nur den Wert \(1\) enthält. Zahlen [sic] Sie dann \(1\) und \(-1\) in den ersten Zeilen.)
Es ist leicht zu zeigen, dass die Multiplikation mit (-1) in einer Zeile nichts am Produkt mit der Transponierten ändert. Ichhabe auch gezeigt, dass ich die Reihenfolge der Zeilen ändern darf, und dabei \((H)\) erhalten bleibt, aber weiter komme ich nicht.
Was ganz einfach zu zeigen ist: \(n\) muss gerade sein, da andernfalls die Determinante keine rationale Zahl wäre (siehe (a)) was aber nicht möglich ist, da die Matrix Rational ist.
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Nuramon
Senior 
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 3691
| Beitrag No.1, eingetragen 2022-11-11
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
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Hallo,
\quoteon
Was ganz einfach zu zeigen ist: \(n\) muss gerade sein, da andernfalls die Determinante keine rationale Zahl wäre (siehe (a)) was aber nicht möglich ist, da die Matrix Rational ist.
\quoteoff
Das stimmt nicht. Betrachte etwa $n=9$.
Zur Umsetzung des Tipps zu (c):
Sei also $A\in M_n(K)$ und erfülle $(H)$. Seien $a_1, a_2,\ldots,a_n\in K^n$ die Spalten von $A$.
Was gilt dann für die Skalarprodukte $a_i^T a_j$?
Mit dem was Du schon gezeigt hast, dürfen wir zusätzlich noch annehmen, dass die erste Spalte nur Einsen enthält. Betrachte $a_1^Ta_2$ und mache damit eine Aussage über die Anzahl der $+1$ und $-1$ in $a_2$.
Anschließend kann man dann für $n\geq 3$ noch $a_2^Ta_3$ betrachten.
\(\endgroup\)
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ochen
Senior 
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 3563
Wohnort: der Nähe von Schwerin
| Beitrag No.2, eingetragen 2022-11-11
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Hallo,
es kann $n^{n/2}$ auch ganzzahlig sein, obwohl $n$ ungerade ist, nämlich dann, wenn $n$ eine ungerade Quadratzahl ist.
Sei $a_i$ die $i$-te Spalte von $A$, so gilt $\langle a_i, a_j\rangle=0$ für $i\neq j$. Insbesondere ist also $\langle a_i, a_j\rangle$ gerade. Wir haben also $n$ ungerade Zahlen (1 oder -1), deren Summe Null ist. Was sagt das über $n$ aus?
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
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