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Lineare Algebra » Vektorräume » Prüfen auf Untervektorraum mithilfe vorgegebener Vektoren
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Universität/Hochschule Prüfen auf Untervektorraum mithilfe vorgegebener Vektoren
Eike887
Neu Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 11.11.2022
Mitteilungen: 2
  Themenstart: 2022-11-11

Hallo zusammen, ich bin aktuell bei dieser Aufgabe, bei der ich nicht weiterkomme: Vorgegeben ist der Standardvektorraum V=\IR^4 mit den folgenden Vektoren: v_1=(1,1,1,1) v_2=(4,4,0,0) v_3=(3,4,2,1) v_4=(2,3,1,1) v_5=(1,0,0,0) Es soll gezeigt werden, dass () \union\ () kein Untervektorraum von V ist, wohingegen () \union\ () sehr wohl ein Untervektorraum von V ist. Ich blicke nicht dahinter, wie ich die Vereinigung der Erzeugnisse verstehen soll und inwiefern diese etwas darüber aussagen, ob dann dabei ein Untervektorraum von V rauskommt. Über das Prüfen eines Untervektorraums hinsichtlich der drei Kriterien (UVR ist nichtleer, Abgeschlossenheit bzgl. Vektoraddition, Abgeschlossenheit bzgl. Skalarmultiplikation) weiß ich schon Bescheid, der Part muss für mich zumindest nicht nochmal durchgekaut werden. :D Danke an alle schonmal im Voraus für die Hilfe.


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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10285
Wohnort: Rosenfeld, BW
  Beitrag No.1, eingetragen 2022-11-11

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo und willkommen hier im Forum! \quoteon(2022-11-11 17:14 - Eike887 im Themenstart) Ich blicke nicht dahinter, wie ich die Vereinigung der Erzeugnisse verstehen soll... \quoteoff Die einzelnen Erzeugnisse sind ja Untervektorräume des \(\IR^4\). Die Vereinigung bedeutet hier nur die Vereinigung der jeweiligen Mengen. Im allgemeinen sind Vereinigungen von Untervektorräumen selbst keine UVR. Um zu verstehen, warum das hier im ersten Fall auch so ist, im zweiten aber nicht, könntest du die jeweils beteiligten Vektoren einmal auf lineare Unabhängigkeit bzw. deren Gegenteil untersuchen. Dann siehst du eventuell schon klarer. \quoteoff Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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Eike887
Neu Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 11.11.2022
Mitteilungen: 2
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-11

Danke für die schnelle Antwort. Jetzt habe ich einen Ansatz, womit ich arbeiten kann.👍


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Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen.
Kathleen_IIa
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 08.11.2022
Mitteilungen: 5
  Beitrag No.3, eingetragen 2022-11-19

Zunächst fällt es nicht schwer zu zeigen, dass sich $v_2$ aus den Vektoren $ v_1, v_4 $ und $ v_5 $ linear kombinieren lässt. Dazu bilde man z.B. aus den Spalten obiger Vektoren die Matrix $\begin{pmatrix} 1&2&1&4 \\ 1&3&0&4 \\ 1&1&0&0 \\ 1&1&0&0 \end{pmatrix} $ deren Rang gleich 3 ist und somit nicht maximal. Es ist offensichtlich, dass $ v_1 $ und $ v_2 $ linear unabhängig sind. Es ist also $ <\{v_1,v_4,v_5\}>\supset <\{v_2\}> $ aber $ <\{v_2\}> \not \subset <\{v_1\}> $ und $ <\{v_1\}> \not \subset <\{v_2\}> $ Nun können wir die folgende Feststellung benutzen, die man in jedem Standardwerk zur linearen Algebra auffinden sollte bzw. sich als kleine Übungsaufgabe ergibt (s. z.B. S. Axler, "Linear Algebra Done Right" 2nd Ed. Chap.1 Übung 9.) Seien $ W_1 $ und $ W_2 $ Untervektorräume von V; $ W_1 \cup W_2 $ ist Untervektorraum von V $\Leftrightarrow$ $W_1 \subset W_2 \vee W_2 \subset W_1$. Im obigen Falle ist $ V= \Bbb{R}^4 $ und $ W_1 = <\{v_1,v_4,v_5\}>, W_2= <\{v_2\}> $ und $ W_2 \subset W_1 $ impliziert die Behauptung. Dass $ <\{v_1\}> \cup <\{v_2\}> $ kein Untervektorraum von $ \Bbb{R}^4 $ ist, folgt dann aus der Implikation der negierten Aussagen mit obiger Feststellung, denn die Negation von ($<\{v_1\}> \subset <\{v_2\}>) \vee (<\{v_2\}> \subset <\{v_1\}>) $ ist $ (<\{v_2\}> \not \subset <\{v_1\}> ) \wedge (<\{v_1\}> \not \subset <\{v_2\}>) $.


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Kathleen_IIa
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 08.11.2022
Mitteilungen: 5
  Beitrag No.4, eingetragen 2022-11-23

Da bei Axler die Aufgabe ohne Lösung steht füge ich nun auch noch den Beweis der Feststellung "Seien $ W_1 $ und $ W_2 $ Untervektorräume von V; $ W_1 \cup W_2 $ ist Untervektorraum von V $\Leftrightarrow$ $W_1 \subset W_2 \vee W_2 \subset W_1$" an; $ \Leftarrow $ : Es sind die Untervektorraumkriterien $ w_1+w_2 $ und $ \lambda w $ $ \in W_1 \cup W_2$ zu verifizieren für $ w_1 \in W_1 $, $ w_2 \in W_2 $ , d.h. $ w_1, w_2 \in W_1 \cup W_2 $. Für $ w__1 \in W_2 $ bzw. $ w_2 \in W_1 $ ist die Implikation trivial. Es genügt nun den Fall $ W_1 \subset W_2 $ mit $ w_2 \in W_2 \wedge w_2 \not\in W_1 $ zu betrachten: Insbes. ist mit $ w_1 \in W_2 $ auch $ w_1+w_2 \in W_2 $, und mithin auch $ w_1+w_2 \in W_1 \cup W_2 $. $ \Leftarrow $ : Sei nun $ W_1 \not\subset W_2 $ angenommen. Es ist dann $ W_2 \subset W_1 $ zu zeigen, d.h. für $ w_2 \in W_2 \Rightarrow w_2 \in W_1 $ ; angenommen, ein Element aus $ W_1 $ lässt sich als $ w_1+w_2 $ anschreiben, dann ist auch $ w_2=(w_1+w_2)-w_1 \in W_1 $ für $ w_1 \in W_1 $ und $ W_1 \underset{UVR}{\subset } V $. Es bleibt dann nur noch $ w_1+w_2 \in W_1 $ zu zeigen; für ein $ w_1 \in W_1\setminus W_2 $ sind dann auch $ w_1, w_2 \in W_1 \cup W_2 $, da $ W_1 \cup W_2 \underset{UVR}{\subset } V $ vorausgesetzt. Angenommen, $ w_1+w_2 \in W_2 $, dann folgt auch $ (w_1+w_2)-w_2 = w_1 \in W_2 $, da $ W_2 \underset{UVR}{\subset } V $, was wegen der Voraussetzung $ w_1\not\in W_2 $ falsch ist. Die Voraussetzung $ w_1+w_2 \in W_2 $ dieser Implikation muss also falsch sein und mithin ist $ w_1+w_2 \in W_1 $ w.z.b.w.


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