| |
| Autor |
 Skeelsche Kondition/Zeilensummennorm |
|
Carly2004
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 26.06.2022
Mitteilungen: 37
 |  Themenstart: 2022-11-12
|
Hallo, ich habe folgende Fragen zu dieser Aufgabe:
Sei
A=({a_nm }^N) _(n,m=1) \el\ \IR^NxN
Und bei |A| gilt für alle Einträge a |a|.
i) Zeigen Sie, dass
k_s(A):= norm(abs(A^(-1))*abs(A))_\inf >=1
gilt.
ii) Wenn A nicht regulär ist, dann gilt k_s(A)=\inf .
Zeigen Sie: A ist genau dann singulär, wenn k_s(A)=\inf
iii) Zeigen Sie, dass für eine reguläre Diagonalmatrix gilt: k_S(DA)=k_S(A)
Meine Ansätze:
Also zur i) dachte ich mir, dass ich zeige dass k_s(A):= norm(abs(A^(-1))*abs(A))_\inf >=norm(I)_\inf = 1 gilt.
Aber wie zeige ich die Ungleichung formal?
Zu ii) ist die Hinrichtung logisch, bei der Rückrichtung muss ich zeigen, dass norm(abs(A^(-1))*abs(A))_\inf <\inf ist, wie kann ich das formal zeigen.
Zu iii) habe ich keinen Ansatz, ich habe DA eingesetzt, ohne Beträge wäre es klar, aber wie mache ich es mit den Beträgen?
|
 Profil
|
StefanVogel
Senior 
Dabei seit: 26.11.2005
Mitteilungen: 4288
Wohnort: Raun
| Beitrag No.1, eingetragen 2022-11-12
|
\
Hallo Carly2004,
bei iii) verwende abs(DA)=abs(D) abs(A) weil D eine Diagonalmatrix ist. Von i) und ii) bin ich noch nicht überzeugt, weil für singuläre A die Matrix abs(A) regulär sein kann oder ich verstehe etwas nicht richtig.
Viele Grüße,
Stefan
|
Profil
|
Carly2004
Wenig Aktiv
Dabei seit: 26.06.2022
Mitteilungen: 37
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-12
|
Danke für den Ansatz zur iii),
wenn ich es richtig verstanden habe, ist abs(A^(-1)) die inverse der Matrix A nur statt den Einträgen a hat sie die Einträge |a|.
Dann müsste es ja egal sein ob abs(A) regulär ist oder nicht.
Zu i) hätte ich vlt dazuschreiben sollen, dass die Matrix regulär ist, denn wäre sie singulär gilt nach Def. k_S(A)=\inf und das ist ja auf jedenfall >=1
|
Profil
|
StefanVogel
Senior
Dabei seit: 26.11.2005
Mitteilungen: 4288
Wohnort: Raun
| Beitrag No.3, eingetragen 2022-11-12
|
\quoteon(2022-11-12 12:26 - Carly2004 in Beitrag No. 2)
wenn ich es richtig verstanden habe, ist abs(A^(-1)) die inverse der Matrix A nur statt den Einträgen a hat sie die Einträge |a|.
\quoteoff
\
Alles klar, erst invertieren und dann Betrag bilden, ich hatte abs(A) invertiert. Gilt abs(AB) <= abs(A) abs(B) mit "<=" als Vergleich der Matrixeinträge gleicher Position? Das sollte mit der Dreiecksungleichung abs(x+y) <= abs(x)+abs(y) zu beweisen gehen.
|
Profil
|
Carly2004
Wenig Aktiv
Dabei seit: 26.06.2022
Mitteilungen: 37
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-12
|
Profil
|
Carly2004
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 26.06.2022
Mitteilungen: 37
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-12
|
Ich bins nochmal,
wie kommst du auf die Dreiecksungleichung?. Oder kann man das Produkt abs(A^(-1))*abs(A) in Matrixaddition C+D für entsprechende C,D zerlegen?, also:
Def.
abs(C+D):=abs(A^(-1)*A)
Dann gilt:
1=abs(A^(-1)*A)=abs(C+D)<=abs(C)+abs(D)=abs(A^(-1))*abs(A)
Der letzte Schritt fühlt sich irgendwie nicht richtig an.
|
Profil
|
StefanVogel
Senior 
Dabei seit: 26.11.2005
Mitteilungen: 4288
Wohnort: Raun
| Beitrag No.6, eingetragen 2022-11-13
|
Die Dreiecksungleichung will ich für den "Vergleich der Matrixeinträge gleicher Position" anwenden. Das muss ich jetzt selber erst aufschreiben, ob das wirklich geht:
\showon
\
A = ( a_11 , a_12 ; a_21 , a_22 ) , B = ( b_11 , b_12 ; b_21 , b_22 ) , A B = ( a_11 b_11 + a_12 b_21 , a_11 b_12 + a_12 b_22 ; a_21 b_11 + a_22 b_21 , a_21 b_12 + a_22 b_22),
abs(A) = ( abs(a_11) , abs(a_12) ; abs(a_21) , abs(a_22) ) , abs(B) = ( abs(b_11) , abs(b_12) ; abs(b_21) , abs(b_22) ) , abs(A B) = ( abs(a_11 b_11 + a_12 b_21) , abs(a_11 b_12 + a_12 b_22) ; abs(a_21 b_11 + a_22 b_21) , abs(a_21 b_12 + a_22 b_22) ),
abs(A) abs(B) = ( abs(a_11) abs(b_11) + abs(a_12) abs(b_21) , abs(a_11) abs(b_12) + abs(a_12) abs(b_22) ; abs(a_21) abs(b_11) + abs(a_22) abs(b_21) , abs(a_21) abs(b_12) + abs(a_22) abs(b_22) ),
Dreiecksungleichung abs(a_ik b_kj + a_il b_lj) <= abs(a_ik) abs(b_kj) + abs(a_il) abs(b_lj) für i,j,k,l \el {1,2}
\showoff
\
abs(A B) <= abs(A) abs(B)
Der Vergleich erfolgt komponentenweise und das überträgt sich auf die Zeilensummennorm.
|
Profil
|
| Carly2004 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen. | | Carly2004 wird per Mail über neue Antworten informiert. |
|
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2023 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die
Nutzungsbedingungen,
die Distanzierung,
die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]
|
Home / Seite ohne Frame
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
