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Lineare Algebra » Vektorräume » Haben zwei Unterräume von V immer dieselbe Dimension?
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Universität/Hochschule Haben zwei Unterräume von V immer dieselbe Dimension?
spikespiegel43
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  Themenstart: 2022-11-13

Hallo, ich weiß das es wahrscheinlich ein gedanklicher Fehler ist. Aber sei V ein endlich erzeugter Unterraum. Und seien U und W endlich erzeugte Unterräume. Dann ist doch U ein Unterraum von W, da das Nullelement aus W in U liegt, da das Nullelement aus V in U liegt und das Nullelemnt aus W auch das Nullelement aus V ist. \(u_1+u_2 \in U\) da U ein Vektorraum von V ist für die Multiplikation \(au \in U\) gilt dann natürlich das selbe. Mit dem selben Argument ist W ein Unterraum von U. D.h dim(U) <= dim(W) und dim(W) <= dim(U) und es folgt, dass beide die selbe Dimension haben. Wo ist mein gedanklicher Fehler? LG spike

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Kezer
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-11-13

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\CC}{\mathbb{C}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\D}{\mathscr{D}} \newcommand{\A}{\mathbb A} \newcommand{\PP}{\mathbb{P}} \newcommand{\LL}{\mathcal{L}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\FF}{\mathcal{F}} \newcommand{\variety}{\mathcal{V}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\sep}{\mathrm{sep}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\Set}{\mathbf{Set}} \newcommand{\Coh}{\mathbf{Coh}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\Bl}{\operatorname{Bl}} \newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand{\ggT}{\operatorname{ggT}} \newcommand{\Top}{\mathbf{Top}} \newcommand{\map}{\operatorname{map}} \newcommand{\id}{\mathrm{id}} \newcommand{\ol}{\overline} \newcommand{\Cat}{\mathbf{Cat}} \newcommand{\Fun}{\operatorname{Fun}} \newcommand{\sSet}{\mathbf{sSet}} \newcommand{\conv}{\mathrm{conv}} \newcommand{\Ext}{\operatorname{Ext}} \newcommand{\PSh}{\mathbf{PSh}} \newcommand{\op}{\mathrm{op}} \newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\KO}{\operatorname{KO}} \newcommand{\BO}{\operatorname{BO}} \newcommand{\Ho}{\operatorname{Ho}} \newcommand{\Kan}{\mathbf{Kan}}\) Wovon sollen diese Räume überhaupt Unterräume sein? Du hast auch nirgendswo gezeigt, dass U ein Unterraum von $V$ ist, wieso sollte $U \subseteq V$ gelten? Bei solchen Sachen hilft es auch oft ein konkretes Beispiel auszuschreiben und dann zu schauen wo in diesem Beispiel der Fehler liegt.\(\endgroup\)

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Erratis
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  Beitrag No.2, eingetragen 2022-11-13

\quoteon(2022-11-13 12:56 - spikespiegel43 im Themenstart) Hallo, ich weiß das es wahrscheinlich ein gedanklicher Fehler ist. Aber sei V ein endlich erzeugter Unterraum. Und seien U und W endlich erzeugte Unterräume. Dann ist doch U ein Unterraum von W, da das Nullelement aus W in U liegt, da das Nullelement aus V in U liegt und das Nullelemnt aus W auch das Nullelement aus V ist. \(u_1+u_2 \in U\) da U ein Vektorraum von V ist für die Multiplikation \(au \in U\) gilt dann natürlich das selbe. Mit dem selben Argument ist W ein Unterraum von U. D.h dim(U) <= dim(W) und dim(W) <= dim(U) und es folgt, dass beide die selbe Dimension haben. Wo ist mein gedanklicher Fehler? LG spike \quoteoff Ich gehe einfach mal davon aus, dass $U,W$ endlich erzeugte UVR eines Vektorraums $V$ sein soll, d.h. die kleinsten UVR $U,W\leq V$ s.d. eine endliche Menge (die erzeugende Menge) darin enthalten ist. Du sagst $u_1+u_2 \in U$ und $a\cdot u \in U$ was korrekt ist wenn $u\in U, a\in K$ für den zu $V$ gehörigen Körper $K$. Du hast also hingeschrieben was gilt, wenn $U$ ein UVR von $V$ ist. Das zeigt jedoch nichts über den Zusammenhang von $U$ und $W$. Du versuchst aus $0\in U$ und $0\in W$ direkt $U\subset W$ zu folgern, was offensichtlich Quatsch ist (es müssen ALLE Elemente von $U$ in $W$ enthalten sein, um die Teilmengenbeziehung zu haben). Beispiel: $V=\mathbb{R}^2,U=<\left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}\right)>,W=<\left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}\right)>$, dann ist $0\in W,U$ aber offensichtlich $U\neq W$.

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spikespiegel43
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-13

\quoteon(2022-11-13 13:19 - Erratis in Beitrag No. 2) \quoteon(2022-11-13 12:56 - spikespiegel43 im Themenstart) Hallo, ich weiß das es wahrscheinlich ein gedanklicher Fehler ist. Aber sei V ein endlich erzeugter Unterraum. Und seien U und W endlich erzeugte Unterräume. Dann ist doch U ein Unterraum von W, da das Nullelement aus W in U liegt, da das Nullelement aus V in U liegt und das Nullelemnt aus W auch das Nullelement aus V ist. \(u_1+u_2 \in U\) da U ein Vektorraum von V ist für die Multiplikation \(au \in U\) gilt dann natürlich das selbe. Mit dem selben Argument ist W ein Unterraum von U. D.h dim(U) <= dim(W) und dim(W) <= dim(U) und es folgt, dass beide die selbe Dimension haben. Wo ist mein gedanklicher Fehler? LG spike \quoteoff Ich gehe einfach mal davon aus, dass $U,W$ endlich erzeugte UVR eines Vektorraums $V$ sein soll, d.h. die kleinsten UVR $U,W\leq V$ s.d. eine endliche Menge (die erzeugende Menge) darin enthalten ist. Du sagst $u_1+u_2 \in U$ und $a\cdot u \in U$ was korrekt ist wenn $u\in U, a\in K$ für den zu $V$ gehörigen Körper $K$. Du hast also hingeschrieben was gilt, wenn $U$ ein UVR von $V$ ist. Das zeigt jedoch nichts über den Zusammenhang von $U$ und $W$. Du versuchst aus $0\in U$ und $0\in W$ direkt $U\subset W$ zu folgern, was offensichtlich Quatsch ist (es müssen ALLE Elemente von $U$ in $W$ enthalten sein, um die Teilmengenbeziehung zu haben). Beispiel: $V=\mathbb{R}^2,U=<\left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}\right)>,W=<\left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}\right)>$, dann ist $0\in W,U$ aber offensichtlich $U\neq W$. \quoteoff Vielen Dank. Das war mein Fehler, ich habe die Teilmengen Beziehung übersehen.

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