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Analysis » Stetigkeit » Stetigkeitsaufgabe: Funktion nur an einer Stelle stetig Beweis
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Universität/Hochschule J Stetigkeitsaufgabe: Funktion nur an einer Stelle stetig Beweis
julet
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  Themenstart: 2022-11-13

Ich soll beweisen, dass eine mir gegebene Funktion nur an der Stelle p=0 stetig ist. Leider komme ich hier trotz dem Hinweis meines Profs, dass man dort U´= U frei wählen können soll, dass sie an allen anderen Stellen unstetig ist nicht weiter. 🤔 Im konkreten sieht die Aufgabe so aus: https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55893_IMG_1376.jpg Bei der vierten Aufgabe fehlt mir komplett der Ansatz... Vielen Dank im Voraus! 🤗


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Mandelbluete
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-11-13

\(\begingroup\)\(\newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\eps}{\varepsilon} \renewcommand{\phi}{\varphi} \) Huhu! Man kann das mit der $\eps$-$\delta$-Definition machen: 4.3: Sei $p\neq 0$. Wähle $\eps = |p| > 0$. Nun genügt es zu zeigen, daß es für alle $\delta > 0$ ein $x \in \R$ mit $|x - p| <\delta$ und $|f(x) - f(p)| \geq \eps$ gibt. Falls $p \in \Q$, dann $f(p) = p$. \hideon Man kann zu jedem $\delta > 0$ ein $x \in \R \setminus \Q$ mit $|x - p| < \delta$ finden, und dafür gilt dann $|f(x) - f(p)| = |p| \geq \eps$. Wenn $p \notin \Q$, wählt man ein entsprechendes $x \in \Q$. \hideoff 4.4: Hier kann man erst mal $f(p) = g(p) = h(p)$ feststellen. Sei $\eps > 0$. \hideon Weil $f,h$ stetig bei $p$ sind, gibt es $\delta > 0$ mit \[ |x - p| < \delta \implies |f(x) - f(p)| < \eps, \quad |g(x) - g(p)| < \eps \] für alle $x$. Weiter bekommt man \[ - \eps < f(x) - f(p) \leq g(x) - g(p) \leq h(x) - h(p) < \eps, \] also $|g(x) - g(p)| < \eps$. \hideoff\(\endgroup\)


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