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 Zylindermenge erzeugt Topologie/σ-Algebra |
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konvergiert
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Dabei seit: 07.03.2013
Mitteilungen: 68
 |  Themenstart: 2022-11-13
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Hallo, ich habe wieder etwas Probleme beim Sortieren/Notationen.
Folgende Aufgabe ist zu bearbeiten:
Es sei \(\mathcal{A}=\{0,1,2,3\}\) versehen mit der Metrik \(d_{\mathcal{A}}(x_1,x_2)=\begin{cases}
0 & \text{fuer } x_1=x_2 \\
1 & \text{fuer } x_1\neq x_2 \end{cases}\)
und der metrische Raum \((X, d)\) mit \(X=\mathcal{A}^{\mathbb{N}}\) und \(d(x, y):= \sum \limits_{n=1}^{\infty}
\frac{d_{\mathcal{A}}(x_n,y_n)}{2^n}\).
Zeigen Sie, dass sowohl die Topologie, als auch die Borel-σ-Algebra \(\mathcal{B}\) auf \(X\) erzeugt werden durch alle Zylindermengen der Form
\(C_{A,p} := \{ x ∈ X\ |\ x_{|A} = p\}\) wobei \(A ⊆ \mathbb{N}\) endlich ist und \(p∈\mathcal{A}^{A}\).
Zur Bearbeitung, mein Ursprungsplan, gleich nach lesen der Aufgabe.
i)Zeigen dass diese Angaben tatsaechlich Metriken auf der genannten Menge sind.
ii) Borel-Sigma-algebra auf der Menge betrachten betrachten, bzw. die Topologie.
iii) Zeigen jedes Element der Sigma-Algebra ist Teilmenge der Zylindermengen und jede Zylindermenge ist Teilmenge der Sigma-Algebra.
iv) ggf ueberlegen, ob es einen Satz fuer Abbildungen gibt, der dies schneller verifiziert, bzw. nachlesen.
v)ueberlegen, ob es durch die Topologie nicht evt. schneller, einfacher zu zeigen ist.
Jetzt habe ich mir aber einige Zeit den Kopf ueber die Gegebenheiten gemacht, und die fehlende Beschreibung, Notation, machte dies wenig eindeutig, dies ist sehr stressig fuer mich, entsprechend bin ich bereits etwas erschoepft und suche etwas Klarheit.
Was ich mir bisher halbwegs ergaenzen konnte:
\(x_{|A} = p\) ist wohl gleichbedeutend mit \(x_{|A}=(x_1,x_2,..)\ |\ \forall \ x_i \in \mathcal{A}\ :\ \exists \ a\in A\ : \ p(a)=x_i\) wobei \(i\in\mathbb{N}\) und \(p\in\mathcal{A}^{A}\) Abbildung \(p:A\rightarrow\ \mathcal{A}\) ist.
Die offenen Baelle bezueglich der Metrik sind natuerlich begrenzt da
\(d(x, y):= \sum \limits_{n=1}^{\infty}
\frac{d_{\mathcal{A}}(x_n,y_n)}{2^n}\leq \sum \limits_{n=1}^{\infty}
\frac{1}{2^n}<1\)
i) zu zeigen ist kein Problem
Ich bitte euch mich zu entschuldigen, eigentlich hatte ich noch mehr Ansaetze, aber beim Versuch diese kryptischen Notationen zu uebersetzen, habe ich etwas Energie und Bezug verloren.
Vermutlich kann ich auch ueber Schnittstabilitaet und co. folgern
fuer kleine Tips und co. welche beim Strukturieren helfen, waere ich sehr dankbar!
LG Konvergiert
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konvergiert
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Dabei seit: 07.03.2013
Mitteilungen: 68
| Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-14
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Hm, also irgendwie komme ich nicht weiter,
vermutlich fehlt mir etwas signifikantes in meiner Ueberlegung.
Jede Teilmenge \(\mathcal{M}\) von \(X\) ist offen,
da fuer \(\delta=\frac{1}{2}\)
\(\mathcal{B}_{\delta}(x)\subseteq\mathcal{M}\), \(\forall \ x\in\mathcal{M}\)
der offene Ball ganz in dieser Teilmenge von \(X\) liegt,
da der Ball lediglich das Element \(x\) selbst enthalte, also in \(\mathcal{M}\) liegt.
Denn \(d_{\mathcal{A}}(x_{n},y_{n})=0\) \(\forall \ n\in\mathbb{N}\) genau dann wenn \(x_{n}=y_{n} \ \forall \ n\in\mathbb{N}\)
Die Borel-Sigma-Algebra ist ..
Urbildmenge von p bezueglich einzelner Elemente von \(\mathcal{A}\) sind disjunkt ..
Anzahl moeglicher p auch bekannt.
ich muss leider erstmal arbeiten, tippe den Rest spaeter ab.
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