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Gewöhnliche DGL » Theorie der Gew. DGL » Eindeutige Lösung inhomogener linearer DGL
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Universität/Hochschule J Eindeutige Lösung inhomogener linearer DGL
kitingmachine
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  Themenstart: 2022-11-14

Hallo, folgender Satz und Beweis. https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/53743_DGL_beweis.png Im Beweis wurde aber nicht gezeigt, dass genau eine Lösung existiert, sondern nur, dass \[\phi(x)\] eine Lösung der DGL ist. Stimmt die folgende Argumentation: Zuvor im Skript wurde gezeigt, dass die homogene DGL mit Anfangswert \[\varphi(x_0)=d\] genau eine Lösung in folgender Form besitzt\[\varphi(x)=d*exp(\int_{x_0}^{x}a(t)dt)\]. Für d=1 ist dann \[\phi_0(x)=\varphi(x)\] und damit eindeutig bestimmt und damit auch die Umkehrfunktion von Phi_Null somit sind beide Summanden von Phi eindeutig bestimmt und daher auch Phi. Aber auch dann wüsste man doch nur, dass Lösungen der Form Phi eindeutig sind und nicht, dass es Lösungen anderer Form nicht geben kann. Oder folgt die Eindeutigkeit erst über Picard-Lindelöf, welcher bei uns erst später im Skript dran kommt.

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Wally
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-11-14

Hallo kitingmachine, willkommen auf dem Matheplaneten! Das ist eher Lineare Algebra I, der homogen-inhomogen-Satz. Die Differenz zweier Lösungen des inhomogenen Problems zu gegebenem gleichen Anfangswert löst die homogene Gleichung mit Anfangswert 0, und das ist nach der Bemerkung davor die Nullfunktion. Picard-Lindelöf ist viel mächtiger (und schwerer zu beweisen), und hier geht es gerade noch mal ohne. Viele Grüße Wally

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