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Mathematik » Logik, Mengen & Beweistechnik » Teilermenge, Implikation und echte Teilmenge
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Universität/Hochschule J Teilermenge, Implikation und echte Teilmenge
infosoccom
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  Themenstart: 2022-11-15

Hallo, folgende Aufgabe: Wir bezeichnen mit \(T(n) = \{m \in \mathbb{N}|\:m\:teilt\:n\}\) die Teilermenge von n. Finden sie eine notwendige und hinreichende Bedingung an \(m,n \in \mathbb{N}\) mit \(m\neq n\), so dass \(T(m)\subsetneq T(n)\) gilt. Um ehrlich zu sein finde ich die Aufgabe ziemlich verwirrend. Man soll also eine Implikation mit m und n bilden, damit \(T(m)\) eine echte Teilmenge von \(T(n)\) wird. Ich verstehe aber nicht, ob die Variable m in \(T(m)\) die gleiche ist, die dann auch in \(T(n)\) vorkommt. Außerdem gilt die Teilmengenbeziehung nur, wenn m und n den gleichen Wert haben oder auch wenn z.B. \(m = 2\) und \(n = 8\) also \(T(m=2) \subsetneq T(n=8)\)? Wäre sehr dankbar, wenn ihr mir helfen könntet, die Aufgabenstellung besser zu verstehen oder mir einen Ansatz geben könntet. Nach einiger Zeit des Betrachtens der Aufgabe bin ich leider kaum einen Schritt weiter. Zusammenbasteln konnte ich mir maximal sowas: Wenn \(m\) \(n\) teilt, dann folgt \(m \in T(m)\setminus \{n\}\) Glaube aber nicht, dass ich auf dem richtigen Weg bin.


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-11-15

\quoteon(2022-11-15 09:16 - infosoccom im Themenstart) Wir bezeichnen mit \(T(n) = \{m \in \mathbb{N}|\:m\:teilt\:n\}\) die Teilermenge von n. Finden sie eine notwendige und hinreichende Bedingung an \(m,n \in \mathbb{N}\) mit \(m\neq n\), so dass \(T(m)\subsetneq T(n)\) gilt. \quoteoff Hallo, die Wahl der Buchstaben ist hier vielleicht wirklich etwas verwirrend. Schreibe didaktisch besser: Wir bezeichnen mit \(T(n) = \{k \in \mathbb{N}|\:k\:teilt\:n\}\) die Teilermenge von n. Finden Sie eine notwendige und hinreichende Bedingung an \(m,n \in \mathbb{N}\) mit \(m\neq n\), so dass \(T(m)\subsetneq T(n)\) gilt.


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Qing
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  Beitrag No.2, eingetragen 2022-11-15

Hallo, die Menge $T(n)$ ist die Menge aller Elemente, die $n$ teilen. Also zum Beispiel $T(35)=\{1,5,7,35\}$. Die Bezeichnung mit dem $m$ in der Mengenbeschreibung und $T(m)$ ist "zufällig" und braucht dich nicht verwirren. Finden musst du jetzt eine Bedingung an zwei verschiedene natürlichen Zahlen $n, m$, die notwendig und hinreichend ist, dass $T(m)\subsetneq T(n)$ gilt. Dein Beispiel mit 2 und 8 ist ja eigentlich schon ganz gut. Notwendig und hinreichend heißt, dass hier eine Äquivalenz zu zeigen ist. Also: Es gilt $T(m)\subsetneq T(n)$ genau dann wenn ... Das sollte nicht so schwierig sein. Du kannst dir einfach mal noch ein paar Beispiele machen. [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


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infosoccom
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-15

Vielen Dank für eure Antworten. Die Art und Weise wie du die Aufgabe nochmal formuliert hast, hat mir wirklich geholfen Qing. Ich dachte zunächst, dass mit notwendig und hinreichend eine Implikation gemeint wäre. Immerhin weiß ich jetzt, dass mit so einer Formulierung immer eine Äquivalenz bezeichnet wird. Ich finde es ziemlich schade, dass Aufgabenstellungen absichtlich so verwirrend oder zumindest meiner Ansicht nach unnötig komplizierter formuliert werden. Es gilt \(T(m) \subsetneq T(n)\) genau dann, wenn \(m = 1 \land n > 1\) also: \(T(m) \subsetneq T(n) \Leftrightarrow m = 1 \land n > 1 \) Ich denke das wäre eine passende Bedingung. Ich bitte noch um eine Bestätigung.


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ligning
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  Beitrag No.4, eingetragen 2022-11-15

\quoteon(2022-11-15 10:13 - infosoccom in Beitrag No. 3) Ich dachte zunächst, dass mit notwendig und hinreichend eine Implikation gemeint wäre. Immerhin weiß ich jetzt, dass mit so einer Formulierung immer eine Äquivalenz bezeichnet wird. \quoteoff Das sind zwei Implikationen. A hinreichend für B bedeutet: Wenn A wahr ist, dann auch B. Also $A\Rightarrow B$. A notwendig für B bedeutet: Wenn A nicht wahr ist, dann kann auch B nicht wahr sein. Also $\neg A \Rightarrow \neg B$, oder äquivalent ausgedrückt $B\Rightarrow A$ (Kontraposition.)


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infosoccom
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-15

Ja das stimmt. Ich hätte mich präziser formulieren müssen. Ich dachte es wäre nach einer einseitigen Implikation gesucht und danke für die Veranschaulichung.


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Zwerg_Allwissend
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  Beitrag No.6, eingetragen 2022-11-15

\quoteon(2022-11-15 10:13 - infosoccom in Beitrag No. 3) Vielen Dank für eure Antworten. Die Art und Weise wie du die Aufgabe nochmal formuliert hast, hat mir wirklich geholfen Qing. Ich dachte zunächst, dass mit notwendig und hinreichend eine Implikation gemeint wäre. Immerhin weiß ich jetzt, dass mit so einer Formulierung immer eine Äquivalenz bezeichnet wird. Ich finde es ziemlich schade, dass Aufgabenstellungen absichtlich so verwirrend oder zumindest meiner Ansicht nach unnötig komplizierter formuliert werden. Es gilt \(T(m) \subsetneq T(n)\) genau dann, wenn \(m = 1 \land n > 1\) also: \(T(m) \subsetneq T(n) \Leftrightarrow m = 1 \land n > 1 \) \quoteoff Falsch - Gegenbeispiel: \(T(6) = \{1, 2, 3, 6\} \subsetneq \{1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30\} = T(30)\)


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infosoccom
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-16

Danke für den Hinweis Zwerg_Allwissend. \(T(m) \subsetneq T(n) \Leftrightarrow \exists k \in \mathbb{N}: n = k \cdot m\) Ich hoffe jetzt müsste es passen. Wäre die Notation so in Ordnung?


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Zwerg_Allwissend
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  Beitrag No.8, eingetragen 2022-11-16

\quoteon(2022-11-16 16:17 - infosoccom in Beitrag No. 7) Danke für den Hinweis Zwerg_Allwissend. \(T(m) \subsetneq T(n) \Leftrightarrow \exists k \in \mathbb{N}: n = k \cdot m\) Ich hoffe jetzt müsste es passen. Wäre die Notation so in Ordnung? \quoteoff Für k = 1 sind die Mengen identisch. Ich würde schreiben: n = 0 und m > 0 oder m teilt n und n > m.


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infosoccom
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  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-16

Also ist das so hier gemeint: \(T(m) \subsetneq T(n) \Leftrightarrow (n=0 \land m > 0) \lor (m\:teilt\:n \land (n > m)) \)


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tactac
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  Beitrag No.10, eingetragen 2022-11-16

\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}} \newcommand{\monus}{\mathbin {∸}}\) Warum so kompliziert? Wenn $m \ne n$, ist $T(m) \subsetneq T(n)$ äquivalent zu $m \mid n$, also das, was in #7 steht. Beweis: \sourceon Lean def T(n : ℕ) := { m | m ∣ n} theorem Main(n m : ℕ)(ne : m ≠ n): T m ⊆ T n ∧ T m ≠ T n ↔ m ∣ n := ⟨ λ ⟨h,i⟩, h ⟨1, by simp [nat.mul_one]⟩, λ ⟨k₁,h⟩, ⟨ λ t ⟨k₂,j⟩, ⟨k₂*k₁, by simp [← nat.mul_assoc, ← j, h]⟩, λ i, ne $ nat.dvd_antisymm ⟨k₁,h⟩ $ show n ∈ T m, from i.symm ▸ ⟨1,by simp [nat.mul_one]⟩ ⟩ ⟩ \sourceoff Man braucht keine Sonderbehandlung für die 0, wenn man die Teilerrelation richtig definiert. \(\endgroup\)


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infosoccom
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  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-17

Wäre meine Lösung in #7 also korrekt, da aufgrund \(m \neq n\), \(k=1\) nicht in Frage kommt? Oder sollte man besser schreiben: \(T(m) \subsetneq T(n) \Leftrightarrow (\exists k \in \mathbb{N}: n = k \cdot m) \land (m \neq n)\)


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tactac
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  Beitrag No.12, eingetragen 2022-11-17

\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}} \newcommand{\monus}{\mathbin {∸}}\) \quoteon Wäre meine Lösung in #7 also korrekt, \quoteoff Meines Erachtens nach schon. Die Aufgabe ist jedenfalls, unter der Bedingung $m \ne n$ etwas zu $T(m) \subsetneq T(n)$ äquivalentes zu finden.\(\endgroup\)


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infosoccom
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  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-18

Okay Dankeschön.


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