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  Unabhängige Ereignisse |
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injektiv
Junior 
Dabei seit: 10.03.2021
Mitteilungen: 19
 |  Themenstart: 2022-11-15
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Kann mir jemand bitte auf die Sprünge helfen? Ich scheitere an den Aufgaben.
Lieben Dank im Voraus
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54382_Aufgabe.png
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StrgAltEntf
Senior 
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 8296
Wohnort: Milchstraße
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-11-15
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Hallo,
du kannst ja mal anfangen, in Formeln aufzuschreiben, was die Voraussetzungen sind und was zu zeigen ist.
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injektiv
Junior
Dabei seit: 10.03.2021
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-15
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Hallo StrgAltEntf,
danke für deine Antwort!
das hätte ich zur ii:
P(A \cut\ B) = P(A)P(B) \and\ P(B \cut\ C) = P(B)P(C)
=> P((B\\A) \cut\ C) = P(B\\A) * P(C)
das zur iii)
A_i\cut\A_j = \0, i != j, i,j\el\menge(1,...,n)
P(A_n \cut\ C) = P(A_n \cut\ C) => P(union(A_n,i=1,n)\cut\ C) = P(union(A_n,i=1,n)) * P(C)
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StrgAltEntf
Senior
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Mitteilungen: 8296
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| Beitrag No.3, eingetragen 2022-11-15
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\quoteon(2022-11-15 17:06 - injektiv in Beitrag No. 2)
das hätte ich zur ii:
P(A \cut\ B) = P(A)P(B) \and\ P(B \cut\ C) = P(B)P(C)
=> P((B\\A) \cut\ C) = P(B\\A) * P(C)
\quoteoff
Nicht A und B sind unabhängig, sondern A und C.
Wie stehen die Ausdrücke \(P(A)\), \(P(B)\) und \(P(B\setminus A)\) in Beziehung?
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injektiv
Junior
Dabei seit: 10.03.2021
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-15
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\quoteon(2022-11-15 17:15 - StrgAltEntf
Nicht A und B sind unabhängig, sondern A und C.
Wie stehen die Ausdrücke \(P(A)\), \(P(B)\) und \(P(B\setminus A)\) in Beziehung?
\quoteoff
Meinst du, dass ich die eine Gleichung in die andere einsetzen kann und beispielsweise bekomme:
P(B\cut\C) = P(B) * (P(A\cut\C))/P(A)
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luis52
Senior
Dabei seit: 24.12.2018
Mitteilungen: 1000
 | Beitrag No.5, eingetragen 2022-11-15
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\(\begingroup\)\(%****************************************************************
%************************** Abkuerzungen ************************
%****************************************************************
\newcommand{\eps}{\epsilon}
\newcommand{\veps}{\varepsilon}
\)
Zu (iii) So wie du das aufschreibst, betrachtest du eine endliche Vereinigung $A_1\cup A_2\cup \ldots\cup A_n$. Links steht aber eine unendliche Vereinigung $\bigcup_{n\in\IN}A_n=\bigcup_{n=1}^\infty A_n$. Zu zeigen ist dafuer
\[P\left(\left(\bigcup_{n\in\IN}A_n\right)\cap C\right)=P\left(\bigcup_{n\in\IN}A_n\right)\cdot P(C)\,.\]
Forme den linken Ausdruck um.
vg Luis\(\endgroup\)
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StrgAltEntf
Senior 
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 8296
Wohnort: Milchstraße
| Beitrag No.6, eingetragen 2022-11-15
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\quoteon(2022-11-15 17:28 - injektiv in Beitrag No. 4)
Meinst du, dass ich die eine Gleichung in die andere einsetzen kann und beispielsweise bekomme:
P(B\cut\C) = P(B) * (P(A\cut\C))/P(A)
\quoteoff
Kann man machen, wenn \(P(A)\neq 0\). Aber ich sehe momentan nicht, wie dir das weiterhilft.
Ich meinte \(P(B\setminus A)=P(B)-P(A)\). Rechne mal drauf los. Du wirst außerdem brauchen: \((B\setminus A)\cap C=(B\cap C)\setminus(A\cap C)\).
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]
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injektiv
Junior 
Dabei seit: 10.03.2021
Mitteilungen: 19
| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-16
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\quoteon(2022-11-15 20:14 - StrgAltEntf in Beitrag No. 6)
Kann man machen, wenn \(P(A)\neq 0\). Aber ich sehe momentan nicht, wie dir das weiterhilft.
Ich meinte \(P(B\setminus A)=P(B)-P(A)\). Rechne mal drauf los. Du wirst außerdem brauchen: \((B\setminus A)\cap C=(B\cap C)\setminus(A\cap C)\).
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]
\quoteoff
Lieber StrgAltEntf, ich glaube ich habe die Lösung:
P((B\\A)\cut\C) =
P((B\cut\C)\\(A\cut\C) =
P(B\cut\C)-P(A\cut\C)
Nun gilt nach Voraussetzung
P(B\cut\C)-P(A\cut\C) =
P(B)*P(C) - P(A)*P(C) =
P(C)*(P(B)-P(A)) =
P(C)*P(B\\A)
\bigbox
Wenn das stimmt, danke ich dir vielmals für deine Geduld!!
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luis52
Senior
Dabei seit: 24.12.2018
Mitteilungen: 1000
| Beitrag No.8, eingetragen 2022-11-16
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Dein Beweis ist korrekt.
vg Luis
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injektiv
Junior
Dabei seit: 10.03.2021
Mitteilungen: 19
| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-16
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\quoteon(2022-11-16 13:59 - luis52 in Beitrag No. 8)
Dein Beweis ist korrekt.
vg Luis
\quoteoff
Lieber Luis52,
vielen Dank für deine Hilfe. Nach der Umformung komme ich auf folgendes:
P((union(A_n,n\el\ \IN))\cut\ C) = P(union((A_n\cut\ C),n\el\ \IN))
und daraus folgt doch direkt die Behauptung, oder?
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luis52
Senior
Dabei seit: 24.12.2018
Mitteilungen: 1000
| Beitrag No.10, eingetragen 2022-11-16
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\quoteon(2022-11-16 16:19 - injektiv in Beitrag No. 9)
\quoteon(2022-11-16 13:59 - luis52 in Beitrag No. 8)
Dein Beweis ist korrekt.
vg Luis
\quoteoff
Lieber Luis52,
vielen Dank für deine Hilfe. Nach der Umformung komme ich auf folgendes:
P((union(A_n,n\el\ \IN))\cut\ C) = P(union((A_n\cut\ C),n\el\ \IN))
und daraus folgt doch direkt die Behauptung, oder?
\quoteoff
Koennte sein. Aber ich traue dem Braten erst, wenn du das bis zum Schluss sauber hinschreibst. Mit Begruendungen.
vg Luis
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injektiv
Junior
Dabei seit: 10.03.2021
Mitteilungen: 19
| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-18
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\quoteon(2022-11-16 18:15 - luis52 in Beitrag No. 10)
\quoteon(2022-11-16 16:19 - injektiv in Beitrag No. 9)
\quoteon(2022-11-16 13:59 - luis52 in Beitrag No. 8)
Dein Beweis ist korrekt.
vg Luis
\quoteoff
Lieber Luis52,
vielen Dank für deine Hilfe. Nach der Umformung komme ich auf folgendes:
P((union(A_n,n\el\ \IN))\cut\ C) = P(union((A_n\cut\ C),n\el\ \IN))
und daraus folgt doch direkt die Behauptung, oder?
\quoteoff
Koennte sein. Aber ich traue dem Braten erst, wenn du das bis zum Schluss sauber hinschreibst. Mit Begruendungen.
vg Luis
\quoteoff
Lieber Luis,
ehrlich gesagt weiß ich jetzt nicht wie ich das noch weiter ausführen soll. Für mich ergibt sich das direkt aus der Voraussetzung. Offensichtlich siehst du etwas, was ich nicht sehe.
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luis52
Senior
Dabei seit: 24.12.2018
Mitteilungen: 1000
| Beitrag No.12, eingetragen 2022-11-18
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\(\begingroup\)\(%****************************************************************
%************************** Abkuerzungen ************************
%****************************************************************
\newcommand{\eps}{\epsilon}
\newcommand{\veps}{\varepsilon}
\)
\quoteon(2022-11-18 08:28 - injektiv in Beitrag No. 11)
Lieber Luis,
ehrlich gesagt weiß ich jetzt nicht wie ich das noch weiter ausführen soll. Für mich ergibt sich das direkt aus der Voraussetzung. Offensichtlich siehst du etwas, was ich nicht sehe.
\quoteoff
Wie in Beitrag #5 gesagt ist
\[P\left(\left(\bigcup_{n\in\IN}A_n\right)\cap C\right)=P\left(\bigcup_{n\in\IN}A_n\right)\cdot P(C)\,.\]
zu zeigen:
\[
\begin{eqnarray}
P\left(\left(\bigcup_{n\in\IN}A_n\right)\cap C\right)
&=& P\left(\bigcup_{n\in\IN}A_n\cap C\right) \\
&=& \sum_{n\in\IN}P\left(A_n\cap C\right)\\
&=& \sum_{n\in\IN}P(A_n)\cdot P(C) \\
&=&P\left(\bigcup_{n\in\IN}A_n\right)\cdot P(C)\\
\end{eqnarray}
\]
(1) folgt aus bekannten Rechenregeln, (2) folgt, da $A_1\cap C$, $A_2\cap C$, $A_3\cap C,\ldots$ paarweise disjunkt sind, (3) folgt aus der Unabhaengigkeit der $A_n$ von $C$, (4) folgt aus der paarweisen Disjunktheit von $A_1$, $A_2$, $A_3,\ldots$.
vg Luis\(\endgroup\)
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injektiv hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
injektiv hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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