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Lineare Algebra » Matrizenrechnung » Reguläre und positiv semi-definite Matrix
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Universität/Hochschule J Reguläre und positiv semi-definite Matrix
Shi_Kangyi
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 15.11.2022
Mitteilungen: 5
Wohnort: Göttingen
  Themenstart: 2022-11-15

Lieber Matheplanet, ich bin gerade mit einer Übungsaufgabe beschäftigt, bei der sich mir folgende Frage stellt: Sind alle regulären positiv semi-definiten Matrizen immer positiv definit? Meine Vermutung: Sei A eine solche Matrix. Da A positiv semi-definit ist, sind alle Eigenwerte größer oder gleich 0. Da A regulär kann insb. kein Eigenwert gleich 0 sein. Also ist A positiv definit. Eigentlich scheint mir das sehr logisch, für positiv definite Matrizen haben wir die zu zeigende Aussage aber schon in der Vorlesung bewiesen und die Übungsaufgabe erübrigt sich... Vermutlich habe ich etwas übersehen - daher die Frage! PS: Vielen Dank für Euer tolles Engagement und Eure Hilfsbereitschaft in diesem Forum! Ich habe schon oft von vielen Beiträgen hier (bislang nur als passiver Leser) profitiert und freue mich sehr, jetzt auch aktiv dabei zu sein!


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Mandelbluete
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 03.05.2008
Mitteilungen: 334
  Beitrag No.1, eingetragen 2022-11-15

Huhu! Schön, daß Du endlich aktiv geworden bist! 🙂 Dein Argument ist überzeugend. Wie lautet die Übungsaufgabe denn genau? Viele Grüße Mandelblüte


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Shi_Kangyi
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 15.11.2022
Mitteilungen: 5
Wohnort: Göttingen
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-15

Vielen Dank für die schnelle Antwort! Hier die Übungsaufgabe: Eine reguläre Matrix \( A \in C^{n \times n}\) ist genau dann positiv semi-definit, falls A eine Cholesky-Zerlegung besitzt. Und zumindest die Hinrichtung haben wir für positiv definite Matrizen genauso schon in der Vorlesung gezeigt. Die Rückrichtigung, dass die Existenz einer Cholesky-Zerlegung positive Semi-Definiheit impliziert ist trivial. Das kam mir nur etwas zu einfach vor, wenn... regulär + pos. semi-definit \(\implies\) pos. definit


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Mandelbluete
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 03.05.2008
Mitteilungen: 334
  Beitrag No.3, eingetragen 2022-11-15

\(\begingroup\)\(\newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\eps}{\varepsilon} \renewcommand{\phi}{\varphi} \) Es ist dann tatsächlich die eine Richtung: Sei $A$ symmetrisch und regulär. "$\Rightarrow$": Sei $A$ positiv semidefinit. Dann ist $A$ schon positiv definit, weil wegen der Regularität der Eigenwert 0 nicht auftreten kann (Dein Argument). Da $A$ somit symmetrisch und positiv definit ist, gibt es nach dem Satz aus der Vorlesung eine Cholesky-Zerlegung. Die Rückrichtung ist nicht schwer, aber ein kleines Argument braucht man doch. Mehr ist es dann aber nicht. Man kann hier noch mal Kriterien dafür, daß eine Matrix positiv (semi-)definit oder regulär ist, üben. Liebe Grüße Mandelblüte \(\endgroup\)


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Shi_Kangyi
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Dabei seit: 15.11.2022
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Wohnort: Göttingen
  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-15

Vielen Dank für die Hilfe! 👍 Dir noch einen schönen Abend!


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