| Autor |
  DGL Verhalten der Lösungsfunktion |
|
kitingmachine
Junior 
Dabei seit: 06.11.2020
Mitteilungen: 6
 |  Themenstart: 2022-11-16
|
Hallo,
folgende Aufgabe:
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/53743_DGL_aufgabe.png
Mein bisheriger Ansatz dazu war: für \(t=0 : y(0)=y_0>0 \) und da y' auf \(\mathbb{R^+}\) streng monoton wachsend ist, steigt auch y für t>0. Also ist y>0 für alle t>=0.
Für t<0 : Hier bin ich mir nicht sicher wie ich zeigen soll, dass y>0 stets gilt.Da die Funktion ja wegen der Monotonie von y' auf \(\mathbb{R^+}\) stets fallen wird für t<0 und y(t)>0. Kann mir jemand ein Tipp geben?
|
 Profil
|
Caban
Senior 
Dabei seit: 06.09.2018
Mitteilungen: 2963
Wohnort: Brennpunkt einer Parabel
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-11-16
|
Hallo
Ich würde y^2+sin(y) nach unten abschätzen.
Gruß Caban
|
Profil
|
kitingmachine
Junior
Dabei seit: 06.11.2020
Mitteilungen: 6
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-16
|
Hallo Caban,
die erste Abschätzung die in den Sinn kommt ist sicherlich \(y^2-1\leq y'\) aber was bringt es mir zu wissen, dass die Steigung von y für \(y\in(-\infty,-1)\) stets positiv und y somit weiter fällt. Für die anderen Intervalle sehe ich nicht was diese Abschätzung bringen soll.
|
Profil
|
Caban
Senior
Dabei seit: 06.09.2018
Mitteilungen: 2963
Wohnort: Brennpunkt einer Parabel
| Beitrag No.3, eingetragen 2022-11-16
|
allo
nein, ich würde zeigen, dass y^2+sin(y)>=0. Dazu könntest du die Ableitung 2*y+cos(y) abschätzen und damit zeigen, dass der Ausdruck y^2-sin(y) steigt.
Gruß Caban
|
Profil
|
nitram999
Aktiv 
Dabei seit: 11.02.2019
Mitteilungen: 422
Wohnort: Würzburg
| Beitrag No.4, eingetragen 2022-11-16
|
Hallo,
die konstante Nullfunktion ist doch eine Lösung der DGL, wenn ich mich nicht verschaut habe.
LG nitram999
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]
|
Profil
|
Caban
Senior
Dabei seit: 06.09.2018
Mitteilungen: 2963
Wohnort: Brennpunkt einer Parabel
| Beitrag No.5, eingetragen 2022-11-16
|
Hallo
Es geht nicht darum die gleichung zu lösen, sondern darum zu zeigen, dass y^2+sin(y) stests positiv für y>=0 ist.
Gruß Caban
|
Profil
|
nitram999
Aktiv
Dabei seit: 11.02.2019
Mitteilungen: 422
Wohnort: Würzburg
| Beitrag No.6, eingetragen 2022-11-16
|
Hallo Caban,
ja aber da die Nullfunktion doch eine Gleichgewichtslage der DGL ist, Kann eine andere Lösung mit Anfangswert größer als Null niemals eine Nullstelle haben oder Werte kleiner als Null liefern. Das sagt der globale Eindeutigkeitssatz, da die rechte Seite der DGL stetig und Lipschitzstetig bzgl. x ist.
LG nitram999
|
Profil
|
Caban
Senior
Dabei seit: 06.09.2018
Mitteilungen: 2963
Wohnort: Brennpunkt einer Parabel
| Beitrag No.7, eingetragen 2022-11-16
|
Hallo
Ich hatte einen Tippfehler vor dem sin(y) soll eigentlich ein plus stehen. Er muss zeigen, dass y^2+sin(y) stets positiv ist für y>0, dazu kann er mit der Monotonie der Funktion f(x)=x^2+sin(x) argumentieren.
Gruß Caban
|
Profil
|
nitram999
Aktiv
Dabei seit: 11.02.2019
Mitteilungen: 422
Wohnort: Würzburg
| Beitrag No.8, eingetragen 2022-11-16
|
Nein, y(t)>0 soll gezeigt werden für alle t aus I, nicht y(t)^2 +sin(y(t)) =y(t)'>0
Edit: Also klar würde aus y(t)'>0 folgen, dass y streng monoton ist und damit würde die Aussage auch folgen (Wenn man das zeigen kann. Das ist denke ich aber schwer, weil der Sinus periodisch immer wieder negativ wird.). Aber dennoch würde mein Vorschlag auch funktionieren und man muss nichts rechnen.
|
Profil
|
Caban
Senior
Dabei seit: 06.09.2018
Mitteilungen: 2963
Wohnort: Brennpunkt einer Parabel
| Beitrag No.9, eingetragen 2022-11-16
|
Hallo
Ich hätte dann noch gezeigt, dass aus negativen y-Werte sich nie positive Funktionswerte ergeben können, da sich bei y=0 stets y'=0 ergibt. Deine Version ist aber direkter, dass stimmt.
Gruß Caban
|
Profil
|
kitingmachine
Junior
Dabei seit: 06.11.2020
Mitteilungen: 6
| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-16
|
\quoteon(2022-11-16 21:03 - Caban in Beitrag No. 9)
Hallo
Ich hätte dann noch gezeigt, dass aus negativen y-Werte sich nie positive Funktionswerte ergeben können, da sich bei y=0 stets y'=0 ergibt. Deine Version ist aber direkter, dass stimmt.
Gruß Caban
\quoteoff
Hallo,
aber z.B. f(x)=x^3 da gilt doch auch f(0)=0 und f'(0)=0 aber trotzdem werden positive als auch negative Werte angenommen.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.8 begonnen.]
|
Profil
|
nzimme10
Senior
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2238
Wohnort: Köln
 | Beitrag No.11, eingetragen 2022-11-16
|
Hallo,
man bemerke eventuell, dass die DGL autonom ist. Jede nicht-konstante Lösung ist daher streng monoton.
LG Nico
|
Profil
|
kitingmachine
Junior
Dabei seit: 06.11.2020
Mitteilungen: 6
| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-16
|
\quoteon(2022-11-16 20:27 - nitram999 in Beitrag No. 6)
Hallo Caban,
ja aber da die Nullfunktion doch eine Gleichgewichtslage der DGL ist, Kann eine andere Lösung mit Anfangswert größer als Null niemals eine Nullstelle haben oder Werte kleiner als Null liefern. Das sagt der globale Eindeutigkeitssatz, da die rechte Seite der DGL stetig und Lipschitzstetig bzgl. x ist.
LG nitram999
\quoteoff
Hallo Nitram,
wir haben im Skript den Eindeutigkeitssatz wie folgt formuliert: ist die rechte Seite lokallipschitz bzgl. y und stetig, und sind \(\phi\) , \(\psi\) zwei Lösungen der DGL und gilt \(\phi (x_0)=\psi (x_0)\) dann folgt, dass die Funktionen gleich sind für alle x aus I. Ich sehe aber nicht wie ich jetzt daraus deine Aussage folgern soll.(mir ist klar, dass die rechte Seite lokal lipschitz bzgl y und stetig ist, aber ich meine deine Formulierung des Existenzsatzes)
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.10 begonnen.]
|
Profil
|
Wally
Senior
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9727
Wohnort: Dortmund, Old Europe
 | Beitrag No.13, eingetragen 2022-11-16
|
\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Hallo,
der erfolversprechende Weg steht in Beitrag 6.
Wenn \( y^2+\sin y\) stets positiv ist, könnte das doch bedeuten, dass die Lösungsfunktion (die ja dann streng monoton steigt) links von Null negativ sein könnte.
Aus den Monotonie kann man also nicht so gut was folgern.
Viele Grüße
Wally
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.10 begonnen.]\(\endgroup\)
|
Profil
|
kitingmachine
Junior
Dabei seit: 06.11.2020
Mitteilungen: 6
| Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-17
|
Hallo,
danke an alle Antworten, habe es jetzt verstanden, der Weg von Nitram führt zum Ziel.
|
Profil
|
Home / Seite ohne Frame
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
