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Mathematik » Numerik & Optimierung » Lineares Ausgleichungsproblem
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Universität/Hochschule J Lineares Ausgleichungsproblem
JamesNguyen
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Mitteilungen: 282
  Themenstart: 2022-11-17

Hallo, ich komme bei Folgendem nicht weiter: Betrachten Sie das lineare Ausgleichsproblem minimiere $\|A x - b\|_2$ $(\ast)$ mit einer beliebigen Matrix $A \in \IR^{mxn}$ (nicht notwendig von vollem Rang) und einem Vektor $b \in \IR^m$. Für ein $\rho_k > 0$ sei $x^k$ Lösung der $regularisierten$ $Normalengleichung$ $(A^T A + \rho_k I)x = A^T b$. Zeigen Sie, dass für eine Folge $\{\rho_k\}$ mit $\rho_k \downarrow 0$ die hierdurch erzeugte Folge $\{x^k\}$ gegen eine Lösung $x^*$ von $(\ast)$ konvergiert und dass diese Lösung der Ungleichung $\|x^*\|_2 \leq \|\bar x\|_2$ für alle Lösungen $\bar x$ von $(\ast)$ genügt, d.h. der Grenzwert $x^*$ ist die $eindeutige$ Lösung von $(\ast)$ mit kleinster Euklidischer Norm. $Hinweis:$ Zeigen Sie zuerst, dass die Folge $\{x^k\}$ beschränkt ist mit $\|x^k\|_2 \leq \|\bar x\|_2$ für alle $k \in \IN$. Ich habe bisher versucht den Hinweis zu zeigen, weiß aber nicht wie ich anfangen kann. Vielen Dank, James (PS. Das ist meiner erster Eintrag in Latex.)


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JamesNguyen
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  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-19

Hier meine Lösung: Danke an Zippy der beim zughörigen Problem geholfen hat ($\rightarrow$ hier) https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/53749_Screenshot_2022-11-19_193308.png


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JamesNguyen hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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