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Mathematik » Topologie » Zweitabzählbarkeit von Quotienten
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Universität/Hochschule Zweitabzählbarkeit von Quotienten
mappingmoe
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Mitteilungen: 39
  Themenstart: 2022-11-18

Hallo Leute, ich versuche gerade folgendes zu beweisen: Sei \(X\) zweitabzählbar, \(q:X\twoheadrightarrow Y\) eine Quotientenabbildung, \(\mathcal{U}\) eine offene Überdeckung von \(Y\), sodass \(\forall U\in\mathcal{U}\) \(U\) zweitabzählbar. Dann ist \(Y\) zweitabzählbar. Meine erster Gedanke war, zunächst eine albzählbare Familie offener Mengen zu finden, welche \(Y\) überdeckt. Hierfür betrachte ich eine albzählbare Basis der Topologie von \(X\): \(\mathcal{B}_X:=\{B_n\}_{n\in\mathbb{N}}\). Da \(X\in\tau_X\;\implies\;X=\cup_{i\in I} B_i\) mit \(I\) einer albzählbaren Indexmenge. Da nun die Topologie auf \(Y\) durch die Quotiententopologie \(\tau_q\) gegeben ist, gilt \(q(B_i)\in\tau\). Da nun \(q\) surjektiv, gilt \(q(\cup_{i\in I}B_i)=Y\) und allgemein \(q(\cup_{i\in I}B_i)\subseteq \cup_{i\in I}q(B_i)\). Damit ist \(\{q(B_i)\}\) ist eine offene Überdeckung von \(Y\). Allerdings finde ich auch von hier aus keine albzählbare Basis der Topologie. Allgemein für \(V\in\tau_Y\) gilt dann: 1.: \(\exists U_0\in\mathcal{U}\) s.t. \(V\subseteq U_0\;\implies\; V=\cup_{k\in K}(\cap_{j\in J}({A_0}_j\cap V)_k)\) mit \(\{{A_0}_j\}\) abzählbarer Basis der Topologie von \(U_0\) 2.: \(\nexists V_0\) wie in 1, dann \(V\subset\cup_{i\in I}q(B_i)\), \(V=V\cap(\cup_{i\in I}q(B_i))=\cup_{i\in I}(q(B_i)\cap V)\). Allerdings finde ich wieder nur für jedes einzelne \(V\in\tau_X\) eine eigene Basis und keine allgemeine. Das ganze sind jetzt erstmal ein paar Überlegungen dazu, einen wirklich konkreten Plan habe ich deshalb ab hier leider nicht mehr. Wäre entsprechend sehr dankbar für jeden Tipp und jede Idee :)

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