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| Autor |
 Quadrupoltensor in Multipolentwicklung |
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Mandacus
Aktiv 
Dabei seit: 29.10.2016
Mitteilungen: 221
 |  Themenstart: 2022-11-21
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Hallo,
bei mir hat sich ein kleines Problem bzgl. einer Aufgabe ergeben bei der es um eine Multipolentwicklung geht.
https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/46688_Multipol.jpg
Konkret habe ich ein Problem bei dem Aufgabenteil b).
b) Hier hatte ich folgenden Ansatz gewählt. Wir betrachten zwei Koordinatensysteme $\Sigma$ und $\Sigma'$ mit den Ursprüngen $\vec{A}$ und $\vec{B}$. Es gelte $\vec{B}=\vec{A}+\vec{R}$, d.h. die Ursprünge sind um $\vec{R}$ gegeneinander verschoben. In diesem Fall folgt für die Koeffizienten des Quadrupoltensors bzgl. $\Sigma'$
$$
Q^{\vec{B}}_{ij}
=\int d^3 r' (3 x'_i x'_j-\delta_{ij} (\vec{r}')^2) \rho(\vec{r'}+\vec{R})
\\
=\int d^3 r' (3 (x'_i-R_i) (x'_j-R_j)-\delta_{ij} (\vec{r}'-\vec{R})^2) \rho(\vec{r'})
\\
=\int d^3 r' (3 x'_i x'_j-\delta_{ij} (\vec{r}')^2) \rho(\vec{r'}) \\
-3 \int d^3 r' (x'_i R_j+R_i x'_j) \rho(\vec{r'}) \\
+3 R_i R_j \int d^3 r' \rho(\vec{r'}) \\
-\delta_{ij}
(-2 \vec{R} \int d^3 r' \vec{r}' \rho(\vec{r}')+R^2 \int d^3 r' \rho(\vec{r'})).
$$
Nun ist
$$
\int d^3 r' (3 x'_i x'_j-\delta_{ij} (\vec{r}')^2) \rho(\vec{r'})=Q^{\vec{A}}_{ij}
$$
$$
\int d^3 r' \rho(\vec{r'})=q \ \text{(Gesamtladung)}
$$
$$
\int d^3 r' \vec{r}' \rho(\vec{r}')=\vec{d} \ \text{(Dipolmoment)}.
$$
Der Quadrupoltensor hängt somit von den Momenten niedrigerer Ordnung der Multipolentwicklung ab. Ich vermute daher, dass eine Voraussetzung für die Ursprungsunabhängigkeit des Quadrupoltensors ist, dass die Momente niedrigerer Ordnung verschwinden (so dass der Quadrupolterm in der Multipolentwicklung der führende ist). Allerdings habe ich noch Probleme mit dem Term
$$
\int d^3 r' (x'_i R_j+R_i x'_j) \rho(\vec{r}').
$$
Dieser lässt sich erst einmal nicht durch eines der vorausgehenden Momente ausdrücken. Mache ich hier etwas falsch? Oder gibt es tatsächlich noch zusätzliche Bedingungen?
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| | Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen. |
Spock
Senior 
Dabei seit: 25.04.2002
Mitteilungen: 8273
Wohnort: Schi'Kahr/Vulkan
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-12-24
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Hallo Mandacus,
Deine Idee, das Koordinatensystem zu verschieben, ist erstmal gut. Allerdings bist Du ein Opfer Deiner Notation, relativ schnell verlierst Du den Überblick über die verschobenen Koordinaten und die Bezeichnung der Integrationsvariablen.
q, p^> und Q seien die ursprünglichen Größen, und q', p^>', Q' die Größen in einem um d^> verschobenen Koordinatensystem.
Zunächst beachte, daß das in den Integralen auftauchend differentielle Volumenelement in beiden Koordinatensystemen gleich ist,
dV'=dV
Allerdings muß man für die Ladungsdichte im verschobenen System zunächst \rho\.'(r^>') schreiben, und nicht \rho(r^>'), das sind zwei verschiedene Funktionen. Es gilt aber
\rho\.'(r^>')=\rho\.'(r^>-d^>)=\rho(r^>)
Für die Ladung hat man dann
q'=int(\rho\.'(r^>'),V')=int(\rho(r^>),V)=q ,
was klar sein sollte, Ladung bleibt erhalten.
Das Dipolmoment ist
p^>'=int(\rho\.'(r^>') r^>',V')=int(\rho(r^>) (r^>-d^>),V)=p^>-q d^>
An dieser Stelle kannst Du mal selbst versuchen, analog die Quadrupolmomente Q_ij auszurechnen.
Hier nur das Ergebnis
(Q_ij)'=Q_ij-3 (d_i p_j+p_i d_j)+2 (p^>*d^>)\d_ij+q(3 d_i d_j-d^>^2 \d_ij)
Und Deine Vermutung ist richtig (was sich schon beim Monopol- und Dipolmoment andeutet): Immer das erste nicht verschwindende Multipolmoment ist von der Wahl des Koordinatensystems unabhängig. Alle darauffolgenden Momente sind dann aber abhängig.
Grüße
Juergen
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