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Analysis » Ungleichungen » Widerspruchsbeweis für a^2 + b^2 >= 2ab
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Universität/Hochschule Widerspruchsbeweis für a^2 + b^2 >= 2ab
spikespiegel43
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Dabei seit: 13.12.2020
Mitteilungen: 38
  Themenstart: 2022-11-22

Hallo, ich soll zeigen das \(a^2 + b^2 \geq 2ab \) ist. Jetzt dachte ich, ich zeige das ganze durch Widerspruch. Also angenommen es gilt: \(a^2 + b^2 < 2ab \), dann ist \(b^2 < 2ab - a^2 \). Jetzt sage ich sei b=1 und a=1. Dann ist \( (1)^1 = 1 < 2*1*1 - (1)^1 = 1 \). Das ist falsch. Jetzt ist die frage, bin ich hiermit schon fertig, oder muss ich zeigen, dass das ganze in einem Widerspruch zu einem Satz einer Aussage steht? Bitte keine Lösung "spoilern". Ich würde nur gerne wissen, ob ich hier fertig bin. Denn die Aussage \(b^2 < 2ab - a^2 \) ist falsch.


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Caban
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-11-22

Hallo Wo ist die Orgianalaufgabe? Sollst du zeigen, dass die Aussage für alle Zahlentupel falsch ist? Dann wärst du nicht fertig. Gruß Caban


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Kampfpudel
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  Beitrag No.2, eingetragen 2022-11-22

Nein. Du musst zeigen, dass für alle \(a,b \in \mathbb{R}\) gilt: \(a^2 + b^2 \geq 2ab\). Mit einem Widerspruchsbeweis müsstest du also zeigen, dass die Negation der obigen Aussage, also: "Es existieren \(a,b \in \mathbb{R}\), sodass gilt: \(a^2 + b^2 < 2ab\)" falsch ist. Nur weil du ein Zahlenbeispiel für \(a\) und \(b\) gefunden hast, sodass die Ungleichung \(a^2 + b^2 < 2ab\) nicht gilt, bedeutet das nicht, dass es nicht ein anderes Zahlenbeispiel gibt, bei dem diese Ungleichung sehr wohl gilt. Die Aussage in Anführungszeichen ist damit also noch nicht widerlegt, ergo bist du nicht fertig [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


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ligning
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-11-22

Hallo, du hast damit nur gezeigt, dass die Aussage für den Fall a=1, b=1 stimmt, was du auch direkt hättest nachrechnen können. Die korrekte Negation der Aussage muss auch die Quantoren mit einbeziehen. Wenn also behauptet wird "Für alle $a, b\in\IR$ gilt $a^2 + b^2 \geq 2ab$", dann lautet die Negation "Es existieren $a,b\in\IR$, so dass $a^2 + b^2 < 2ab$." Das lässt sich dann nicht mehr durch ein einzelnes Beispiel wiederlegen. Ob das in diesem Fall eine sinnvolle Beweisstrategie ist, lasse ich mal dahingestellt. Falls es klappt, solltest du auf jeden Fall versuchen, den entscheidenden Gedanken nochmal bei einem direkten Beweis anzuwenden. [Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]


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spikespiegel43
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-26

\quoteon(2022-11-22 00:14 - Kampfpudel in Beitrag No. 2) Nein. Du musst zeigen, dass für alle \(a,b \in \mathbb{R}\) gilt: \(a^2 + b^2 \geq 2ab\). Mit einem Widerspruchsbeweis müsstest du also zeigen, dass die Negation der obigen Aussage, also: "Es existieren \(a,b \in \mathbb{R}\), sodass gilt: \(a^2 + b^2 < 2ab\)" falsch ist. Nur weil du ein Zahlenbeispiel für \(a\) und \(b\) gefunden hast, sodass die Ungleichung \(a^2 + b^2 < 2ab\) nicht gilt, bedeutet das nicht, dass es nicht ein anderes Zahlenbeispiel gibt, bei dem diese Ungleichung sehr wohl gilt. Die Aussage in Anführungszeichen ist damit also noch nicht widerlegt, ergo bist du nicht fertig [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.] \quoteoff Gut vielen Dank. Das hatte ich so ähnlich schon befürchtet...


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Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen.
Diophant
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-11-26

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, \quoteon(2022-11-26 19:50 - spikespiegel43 in Beitrag No. 4) Gut vielen Dank. Das hatte ich so ähnlich schon befürchtet... \quoteoff Kein Grund, sich zu fürchten. Was ist denn \((a-b)^2\) ausmultipliziert und was lässt sich über diesen Term mit Sicherheit sagen?... Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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Triceratops
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Wohnort: Berlin
  Beitrag No.6, eingetragen 2022-11-26

\quoteon(2022-11-22 00:06 - spikespiegel43 im Themenstart) ich soll zeigen das \(a^2 + b^2 \geq 2ab \) ist. Jetzt dachte ich, ich zeige das ganze durch Widerspruch. \quoteoff Ich frage mich, wieso du auf diesen Ansatz mit dem Widerspruchsbeweis gekommen bist. (Er ist hier nicht zielführend.)


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tactac
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-11-27

\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}} \newcommand{\monus}{\mathbin {∸}}\) \quoteon(2022-11-26 19:59 - Triceratops in Beitrag No. 6) Ich frage mich, wieso du auf diesen Ansatz mit dem Widerspruchsbeweis gekommen bist. (Er ist hier nicht zielführend.) \quoteoff Es sieht halt nach ein wenig Fortschritt aus: Ich soll $\phi$ beweisen. Hmm... 🤔 Ah! Idee: Ich beweise einfach $\lnot\lnot \phi$ 💡! Der Rest ergibt sich dann vielleicht. 😁\(\endgroup\)


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