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 Differenzierbarkeit von Potenzreihen auf dem Rand |
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Julian5266
Aktiv 
Dabei seit: 08.06.2022
Mitteilungen: 28
 |  Themenstart: 2022-11-23
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Hallo zusammen :)
Im Rahmen der Recherche für meine Bachelorarbeit in Funktionentheorie bin ich Buch Funktionentheorie 2 von Remmert auf eine Art von Differenzierbarkeit gestoßen, die mir neu ist aber leider im Buch nicht erklärt wird.
Remmert formuliert folgende Aussage:
Die Reihe $f(z) = 1+2z + \sum_{k=0}^\infty b_k z^{2^k}$ mit $b_k := \frac{1}{2^{k^2}}$ definiert eine in $ \overline{\mathbb{D}}$ stetige, injektive und in $\mathbb{D}$ holomorphe Funktion. Sie ist in jedem Punkt aus $ \partial \mathbb{D}$ unendlich oft reell differenzierbar, aber in keinem Punkt von $\partial \mathbb{D}$ holomorph fortsetzbar.
Ich weiß hier absolut nicht, was er sich unter der Differenzierbarkeit auf dem Rand vorstellt. Mir ist der Begriff der reellen totalen Differenzierbarkeit auch bei komplexen Funktionen bekannt, aber auch hier wird zumindest in den Büchern die ich kenne nur dann von Differenzierbarkeit im Punkt z gesprochen, wenn z in einer offenen Menge liegt. Der Rand von $\mathbb{D}$ ist aber nicht offen. Eine andere Idee von mir wäre die Funktion
$$\mathbb{R} \to \mathbb{C}, t \mapsto 1+2(e^{it}) + \sum_{k=0}^\infty b_k (e^{it})^{2^k}$$
auf Differenzierbarkeit zu untersuchen. Aber auch das scheint mir zu anstrengend um es einfach unerwähnt zu behaupten. Falls jemand eine ordentliche Definition parat hat würde ich mich über eine Nachricht sehr freuen :)
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nzimme10
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Dabei seit: 01.11.2020
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-11-23
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Hallo,
in der Regel ist damit gemeint, dass es für jedes $z\in \partial \mathbb D$ eine offene Umgebung $U_z$ und eine unendlich oft reell-differenzierbare Funktion $g_z\colon U_z\to \mathbb C$ gibt, die mit $f$ auf $\overline{\mathbb D}\cap U_z$ übereinstimmt.
LG Nico\(\endgroup\)
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nzimme10
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| Beitrag No.2, eingetragen 2022-12-05
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Hallo nochmal,
aus der Fußnote 1 auf Seite 243 des Buches kann man schließen, dass Remmert es so meint, wie ich in meinem obigen Beitrag erläutert habe. Weiterhin findet man in Funktionentheorie 1 von Remmert auf Seite 183 bei "5. Existenz singulärer Punkte" beim Anfang des Beweises ebenfalls diese Definition.
LG Nico
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