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Analysis » Maßtheorie » Charakterisierung von Lebesgue-Nullmengen
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Universität/Hochschule J Charakterisierung von Lebesgue-Nullmengen
JamesNguyen
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Dabei seit: 08.11.2020
Mitteilungen: 300
  Themenstart: 2022-11-25

Hallo, ich brauche bei Folgendem Hilfe. Zeigen Sie, dass die folgenden drei Aussagen äquivalent sind: a) Die Menge $B \in \mathcal{B} (\IR^n)$ ist eine Lebesgue-Nullmenge. b) Für jedes $\epsilon > 0$ existiert eine $B \in \mathcal{B} (\IR^n)$ überdeckende Folge $(I_n)$ offener Intervalle $I_n \subset \IR^n$ mit $$\sum\limits_{n \geq 1} \lambda(I_n) \leq \epsilon.$$ c) Es existiert eine $B \in \mathcal{B} (\IR^n)$ überdeckende Folge $(I_n)$ offener Intervalle $(I_n) \subset \IR^n$ mit $\sum_{n \geq 1} \lambda(I_n) < + \infty$, sodass jeder Punkt $x \in B$ in unendlich vielen $I_n$ enthalten ist. Ich habe bisher bereits gezeigt: $b) \Rightarrow a)$ und $a) \Rightarrow b)$ also $b) \Leftrightarrow a)$. und dann noch $c) \Rightarrow a)$. Ich brauche jetzt also $a) \Rightarrow c)$ oder $b) \Rightarrow c)$. Ich probiere es gerade per Kontraposition aber ich bin mir nicht sicher, wie man mit der Negation von $c)$ etwas anfangen kann. https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/53749_Screenshot_20221125_212636.png Vielen Dank, James

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StefanVogel
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Wohnort: Raun
  Beitrag No.1, eingetragen 2022-11-27

Hallo James, mein Tipp für \(b) \Rightarrow c)\): Zeige, dass es eine überdeckende Folge \((I_n)\) gibt, sodass jeder Punkt \(x \in B\) in wenigstens einem $I_n$ enthalten ist, und anschließend, dass es eine überdeckende Folge \((I_n)\) gibt, sodass jeder Punkt \(x \in B\) in wenigstens zwei $I_n$ enthalten ist, dann für drei, vier, fünf... Viele Grüße, Stefan

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JamesNguyen
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Dabei seit: 08.11.2020
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-27

Vielen Dank, Stefan. Den Tipp habe ich echt gebraucht. Ich habe das jetzt so gemacht. https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/53749_Screenshot_2022-11-27_162732.jpg

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