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Strukturen und Algebra » Polynome » Irreduzibilität für ein Polynom mit allgemeiner Variable n
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Universität/Hochschule Irreduzibilität für ein Polynom mit allgemeiner Variable n
Quantenfluktuationen
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  Themenstart: 2022-11-26

Hallo, ich komme bei einer Hausaufgabe nicht weiter. Ich soll zeigen, dass \(x^{2^{n+1}} \in \mathbb{z}\) für alle \(n \in \mathbb{z} \geq 0\) irreduzibel ist. Mein erster Ansatz war Induktion. Ich habe einen Induktionsanfang mit n=0,1 gemacht und dann einen Induktionsschritt. Ich hatte gedacht, dass ich eventuell durch geschicktes umformen zeigen kann, dass es für n+1 auch gilt, wenn es für n gilt. Den Ansatz habe ich dann erstmal verworfen, da ich für \(a^{b^{c}}\) keine nützliche Umformung gefunden habe. Mein zweiter Ansatz war die Teilbarkeit. in \(\mathbb{z}\) heißt Irreduzibilität ja gerade, dass das das Polynom prim ist, also nur durch 1 und sich selbst teilbar. (Da \(R^X=-1,1\)) Der Gedanke war so grob, dass die Potenz von x selbst eine Zweierpotenz ist, also x nicht unbedingt prim sein muss; dass diese +1 dann aber doch wieder dafür sorgen, dass der ganze Term prim wird. Falls der Ansatz stimmt, weiß ich aber nicht, wie ich das zeigen kann. Reduktion Modulo p und Eisenstein sind mir bekannt, bzw ganz allgemein das Vorgehen für ein konkretes Polynom. Hilft mir so weit ich das sehe aber nicht weiter, da ich ein allgemeines Polynom nicht in zwei Polysem aufteilen und dann für jedes mal prüfen kann, dass die Multiplikation nicht aufgeht, außer für \(R^{x}\). Über ein paar Ideen würde ich mich sehr freuen.


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ochen
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-11-26

Hi, kannst du bitte nochmal die Originalaufgabenstellung wiedergeben? Was ist $x$? Soll vielleicht $p_n:=x^{2^n}+1\in\mathbb Z[x]$ irreduzibel sein? Berechne vielleicht \[ (x-1) (x+1) (x^2+1) (x^4+1) (x^8+1) +2. \]


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Quantenfluktuationen
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-26

Hi, danke für deine Antwort! Klar, die Aufgabenstellung lautet "Zeigen Sie, dass \(X^{2^{n + 1}} ∈ Z[X]\) für alle n ∈ Z≥0 irreduzibel ist". x ist also eine beliebige Funktionsvariable. Wie kommst du denn auf die beschriebene Gleichung? So wie ich das sehe, sind das mögliche Terme, die für das \(x^{2n}\) in Frage kommen - aber im Prinzip kann der Term doch unendlich groß werden. Liebe Grüße Quantum


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ochen
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-11-26

Hi, schreib doch bitte das Polynom auf, wie es da steht. Ich vermute, es ist $X^{2^n}+1$? Mit dem Ausmuliplizieren wollte ich eigentlich nur sagen, dass die Polynome für verschiedene $n$ teilerfremd sind. Versuche das Eisensteinkriterium auf $(X+1)^{2^n}+1$ anzuwenden. Kannst du zeigen, dass $\binom{2^n}{k}$ für $0


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Triceratops
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  Beitrag No.4, eingetragen 2022-11-27

\quoteon(2022-11-26 15:37 - Quantenfluktuationen im Themenstart) Mein erster Ansatz war Induktion. \quoteoff Diesen Ansatz würde ich nur verfolgen, wenn ich wüsste, dass es eine Möglichkeit gibt, das Polynom für $n+1$ aus dem Polynom für $n$ zu erzeugen und es entsprechende Resultate für das Übertragen der Irreduzibilität gibt. Wenn nicht, ist das ein Fall für https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1737


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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-28

@Ochen: Danke, ich probiere den Ansatz gleich mal aus und poste meine Resultate. Sorry dass die LaTeX Eingabe nicht geklappt hat, ich habe wohl eine Klammer vergessen... Korrigiere ich ebenfalls. @Triceratops, danke auch an deinen Einwand. Ich komme eigentlich aus der Physik und mein Mathe für Physiker war leider eher rechenlastig, weswegen ich leider im Beweisen noch nicht so viel Erfahrung habe. Ich fand die Einblicke in die tiefere Mathematik aber so spannend, dass ich es einfach riskieren musste, ein Mathemodul für meinen freien Wahlbereich zu wählen. In sofern bitte ich, Gnade walten zu lassen. Ich muss noch viel lernen. :-)


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Quantenfluktuationen
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-28

Ich komme leider nicht klar. Hier meine Überlegungen dazu, dass \((x+1)^{2^{n}}\) gerade ist: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55654_IMG_0847.jpeg Ich hatte überlegt, dass der Term \(\frac{2^{n}+1}{j}\) ungerade sein muss, damit ich, wenn ich 1 abziehe, wieder bei einem geraden Term lande. Aber irgendwie geht das nicht wirklich auf. Wenn zum Beispiel n=3, so haben wir \(\frac{9}{6}\) und das ist nichtmal teilbar. Wo ist mein Denkfehler? Liebe Grüße


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ochen
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-11-28

\quoteon(2022-11-28 11:06 - Quantenfluktuationen in Beitrag No. 6) Ich komme leider nicht klar. Hier meine Überlegungen dazu, dass \((x+1)^{2^{n}}\) gerade ist. \quoteoff In erster Linie ist \((X+1)^{2^{n}}\) ja ein Polynom in der Unbekannten $X$. Es ist ja keine ganze Zahl und damit weder gerade noch ungerade. Aber du hast recht es gilt \[ (X+1)^{2^n}+1=1+\sum_{k=0}^{2^n}\binom{2^n}{k}X^k=X^{2^n}+2+\sum_{k=1}^{2^n-1}\binom{2^n}{k}X^k. \] Hier hat sich bei dir ein kleiner Fehler für die obere Grenze eingeschlichen. Wie würdest du das Eisensteinkriterium denn verwenden um deine Aussage zu zeigen? Für das Eisensteinkriterium wirst du aber verwenden können, dass $\binom{2^n}{k}$ für $0


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Quantenfluktuationen
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-28

Ich bin deinen Tipps gefolgt und habe einmal versucht, die Aufgabe von vorn bis hinten auszuführen. Falls ich keinen Fehler gemacht habe, scheint mir das gelungen zu sein. Kurze Frage/Anmerkung vorweg: In der Induktion zeigen wir ja \((x+1)^{2^{n}}=x^{2^{n}}+1\). Können wir die additive 1 in dem Binomialsatz dann nicht weglassen? Damit wir mit dem Ergebnis aus der Induktion arbeiten können. Das ganze habe ich mir jetzt so vorgestellt: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55654_IMG_0848.jpeg Zuerst einmal habe ich die Induktion durch Nutzung der Induktionsbehauptung beendet. Der letzte Schritt entspricht dabei der Überlegung, dass das x beliebig sein kann, also ob in der Klammer jetzt x, y oder eben \(x^{2^{n}}\) steht, spielt keine Rolle. Ebenso sollte es keine Rolle stehen, dass wir nun ein Quadrat haben, da die Gleichung für jedes n gelten sollte (an dieser Stelle natürlich ein anderes n, als das, was in der Klammer steht). Diese Induktion haben wir durchgeführt, um sie mit dem Term gleichsetzen zu können, für den Irreduzibilität bewiesen werden soll. Den wiederum können wir, wie bereits getan, mit dem Binomialkoeffizienten gleichsetzen. Die Symmetrie des Terms aus der Induktion können wir bestimmen, dadurch dann auch den Binomialkoeffizienten durch Überlegung, wann ein Term gerade/ungerade ist. Das bringt uns zu Eisenstein, der finalen Überlegung. Die Definition habe ich noch einmal notiert. Dass P teilt nicht \(a_{n}\) und \(p^{2}\) teilt nicht \(a_{0}\) ist klar, da die jeweiligen Koeffizienten 1 sind, wie in dem Binomialkoeffizienten zu sehen. Fehlen also die restlichen Teilbarkeitsnachweise. Die ergeben sich gerade dadurch, dass der Binomialkoeffizient gerade sein muss. Was sagst du, stimmt das so weit, oder habe ich noch Fehler drin?


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ochen
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  Beitrag No.9, eingetragen 2022-11-28

Hm, bei deinem Induktionsschritt sollte auf jeden Fall noch kommentiert werden, warum die letzte Gleichheit gelten sollte. Diese "additive" 1 können wir nicht weglassen. Welche Aussage über Binomialkoeffizienten wollen wir denn per Induktion zeigen? Außerdem ist $X^{2^n}$ nicht gerade oder ungerade, es ist ja nicht einmal ein Element aus $\mathbb Z$. Weiterhin ist $a_0$ nicht 1 sondern... Kannst du zeigen, dass $p(X)$ genau dann irreduzibel ist, wenn $p(X+1)$ irreduzibel ist? Vielleicht sollten wir auch damit anfangen?


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Quantenfluktuationen
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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-29

Kommentierung ist erledigt. Was den Rest angeht, na klasse... Hab zum Glück noch bis Donnerstag Zeit. Wenn ich es denn irgendwie nochmal hinkriege. Wir wollten durch die Induktion zeigen, dass der Binomialkoeffizient gerade ist. Deshalb verstehe ich diese additive 1 auch nicht wirklich. Wenn wir sie nicht haben, sind Induktionsbehauptung, Aufgabenstellung und Ausschreibung durch binomischen Lehrsatz ja identisch - wenn wir die 1 addieren, sind sie identisch bis auf die 1. Ich sehe zwar, mit dem Beweis, den ich jetzt noch führen sollte (siehe unten) ist die additive 1 kein Problem mehr - dennoch verstehe ich nicht, wieso sie einen Unterschied macht. Hier der geforderte Beweis: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55654_IMG_0849.jpeg


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