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  Gesetz der großen Zahlen und Jensensche Ungleichung |
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Radix
Senior 
Dabei seit: 20.10.2003
Mitteilungen: 6343
Wohnort: Wien
 |  Themenstart: 2022-11-26
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Hallo!
https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/3460_Bild_2022-11-26_162546170.png
Hier die zugehörige Definitionen und Sätze:
https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/3460_Bild_2022-11-26_162917977.png
https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/3460_Bild_2022-11-26_162730005.png
Jensen:
https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/3460_Bild_2022-11-26_163228721.png
https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/3460_Bild_2022-11-26_163359564.png
(Der Matheplanet hat das letzte Bild so winzig gemacht.)
Da die Angabe ein Produkt hat und das Gesetz der großen Zahlen eine Summe braucht, nehme ich an, dass ich als f bei Jensen den ln nehmen muss, der auch konkav wäre. Aber ln(produkt(a_k,k=1,n))=sum(ln(a_k),k=1,n), d. h. wir haben Gleichheit und brauchen keine Ungleichung. Ich wüsste nicht, was ich als \lambda_i bei Jensen nehmen sollte.
Hat jemand eine Idee?
Danke
Radix
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Radix
Senior 
Dabei seit: 20.10.2003
Mitteilungen: 6343
Wohnort: Wien
| Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-27
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Wegen sum(\lambda_i,i=1,n)=1 bei Jensen vermute ich, dass man \lambda_i:=1/N bzw. 1/n verwenden soll. Trotzdem bekomme ich die Angabe, das Gesetz der großen Zahlen und Jensen noch nicht unter einen Hut.
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semasch
Senior
Dabei seit: 28.05.2021
Mitteilungen: 434
Wohnort: Wien
 | Beitrag No.2, eingetragen 2022-12-03
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Moin Radix,
die Jensen-Ungleichung für den konkaven Fall liefert dir
\[
\ln(P_N^{1/N}) \le \ln(\overline{X}_N), \quad \text{also} \quad P_N^{1/N} \le \overline{X}_N,
\]
wobei $\overline{X}_N$ das arithmetische Mittel der $X_i$ mit $i = 1, \ldots, N$ ist (das ist die bekannte Aussage, dass das geometrische Mittel kleiner gleich dem arithmetischen ist). Das schwache GGZ liefert dann $\overline{X}_N \xrightarrow{P} \mathbb{E}(X_i) = 1$. Das reicht aber noch nicht, um auf $P_N \xrightarrow{P} 0$ zu schließen, dafür bräuchte man $\mathbb{E}(X_i) < 1$, also $X_i \sim \text{U}(0,a)$ mit $a < 2$. Anders als in der genannten Weise sehe ich leider gegenwärtig auch nicht, wie man hier mit der Jensen-Ungleichung arbeiten soll.
Alternativ könntest du, ohne Jensen-Ungleichung, wie folgt argumentieren:
(i) Mit $X_i \sim \text{U}(0,2)$ iid sind $Y_i := -\ln(X_i/2) \sim \text{Exp}(1)$ iid.
(ii) Es ist
\[
-\ln(P_N^{1/N}) + \ln(2) = -\frac{1}{N} \ln\left(\frac{P_N}{2^N}\right) = \overline{Y}_N \xrightarrow{P} 1,
\]
woraus $\ln(P_N^{1/N}) \xrightarrow{P} \ln(2/e)$ und weiter (vermöge der Tatsache, dass $\ln$ wegen $\ln^{-1} = \exp$ eine stetige Umkehrfunktion hat, entweder direkt oder etwa, falls zur Verfügung stehend, mit dem Continuous Mapping Theorem) $P_N^{1/N} \xrightarrow{P} 2/e < 1$ folgt.
(iii) Mit etwas $\epsilon$-Gymnastik folgt aus (ii) dann $P_N \xrightarrow{P} 0$.
Vielleicht hat aber noch jemand anderes eine Idee, wie man erfolgreich mit der Jensen-Ungleichung arbeiten kann.
LG,
semasch
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Radix
Senior
Dabei seit: 20.10.2003
Mitteilungen: 6343
Wohnort: Wien
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-03
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Eine Lösung ohne Jensen habe ich inzwischen auch schon. Ich bin der Meinung, dass es mit Jensen nicht geht.
Danke für die Bestätigung,
Radix
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Radix hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Radix hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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