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Universität/Hochschule J Inhomogene lineare DGL lösen
nitram999
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  Themenstart: 2022-11-26

Hallo, ich versuche mich gerade an folgender DGL: https://matheplanet.at/matheplanet/nuke/html/uploads/b/51196_dgl_2.JPG Die homogene Lösung habe ich bereits bestimmt: u_h (t) = c_1 *(1;-i) *e^it + c_2 *(1;i) *e^(-it) ; c_1, c_2 \el \IR Um, nun die inhomogene Lösung zu bestimmen, muss man ja eine partiküläre Lösung finden. Hier ist mein Problem. Wie mache ich das? Ich habe es mit dem Ansatz u_p (t) = (a_1;a_2 *e^t) ; a_1, a_2 \el \IR versucht, aber damit funktioniert es nicht. Vielen Dank für die Hilfe! LG nitram999


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Diophant
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-11-26

Hallo, hier stand etwas falsches, sorry. Gruß, Diophant


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gonz
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  Beitrag No.2, eingetragen 2022-11-26

Hallo nitram, um eine parikuläre Lösung zu finden, hilft es oft, den Ansatz dann eben etwas zu erweitern. "Etwas mit Konstanten und e-Funktion" ist schon ein Schritt in die richtige Richtung. Vielleicht einfach etwas herumspielen, es ist hier nicht so einfach, einen Tipp zu geben ohne schon die Lösung zu verraten. Grüße aus dem Harz Gerhard/Gonz [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


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nitram999
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-26

Hallo, danke für die Antworten! Ich finde es schwierig da "Herumzuprobieren". Was mich hauptsächlich verwirrt, und worauf ich mir auch eine Antwort erhoffe, ist, dass ich ja die allgemein typischen Ansätze zum Auffinden der partikulären Lösung gewählt habe, aber es damit nicht funktioniert. Also wenn auf der rechten Seite als Inhomogenität 2*exp(t) steht, so ist als Ansatz C*exp(t) zu wählen. Oder wenn auf der rechten Seite als Inhomogenität 1 steht, also ein Grad 0 Polynom, so ist als Ansatz ebenso ein Grad 0 Polynom C zu wählen. Dieses allgemeine Verfahren scheint hier aber nicht zu funktionieren, da das Gleichungssystem, was sich beim Einsetzen ergibt, einen Widerspruch liefert und somit keine Lösung hat. Das verstehe ich nicht. LG nitram999


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gonz
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  Beitrag No.4, eingetragen 2022-11-26

Dann gebe ich doch noch einen Hinweis - du kannst ja mal probieren, für beide Komponenten von u_p je eine Summe aus Konstante und e-Funktion zu nehmen. Das sollte dann aufgehen.


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nitram999
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-26

Hallo gonz, ich habe das jetzt ausprobiert, und komme wieder auf einen Widerspruch. Bzw. ergeben sich hier ja 2 Gleichungen mit 4 Unbekannten, weshalb das Gleichungssystem nicht eindeutig lösbar ist. LG nitram999


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gonz
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  Beitrag No.6, eingetragen 2022-11-26

Es muss ja nicht eindeutig sein, du brauchst ja nur _eine_ Lösung. Falls es also mehrdeutig ist, kannst du einfach beliebig Konstanten auf "einfache" Werte wie 0 oder 1 setzen...


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Wally
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-11-26

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\) Du kannst das auch ganz ohne Ansatz mit Variaton der Konstanten lösen. Du hast ja schon ein Fundamentalsystem \( Y\), das deine beiden Basislösungen als Spalten enthält. Ansatz: \(u_p(t)=Y(t) c(t) \) mit einem Vektor \( c(t)\). Wenn du das einsetzt, erhältst du eine lineare Gleichung für \( c'(t)\). Viele Grüße Wally \(\endgroup\)


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nitram999
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-26

Okay ich teile hier mal meine Rechnung: Ansatz: u_p (t) = (a+b*e^t;c+d*e^t) Also ist u_p '(t) =(b*e^t;d*e^t) Einsetzen in die DGL liefert: u_p '(t) =(b*e^t;d*e^t)=(0,-1;1,0)*u_p (t) +(1;2e^t) (b*e^t;d*e^t)=(0,-1;1,0)*(a+b*e^t;c+d*e^t) +(1;2e^t) (b*e^t;d*e^t)=(-c-d*e^t +1;a+b*e^t +2e^t) (I;II) Dies führt auf ein Gleichungssystem: In (I) setzen wir c=1 und damit muss b=-d gelten. Setzt man dies in (II) ein, so ergibt sich mit b=-d=1: -1*e^t = a+1*e^t +2*e^t a=-4*e^t Also folgt: u_p (t) = (-3*e^t;1-e^t) Setzt man diese Lösung zur Probe in die DGL ein, dann folgt: (-3*e^t;-e^t)=(0,-1;1,0)*(-3*e^t;1-e^t) +(1;2e^t) =(-1+e^t +1;-3*e^t+2*e^t)=(e^t;-e^t) Und das passt nicht. [Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]


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Wally
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  Beitrag No.9, eingetragen 2022-11-26

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\) Wenn du etwas erhältst wie \( a=-4 e^t\), dann ist dein Ansatz falsch oder du hast dich verechnet. \( a\) soll doch eine Konstante sein. Die Zeile mit \( b=-d=1\), wieso sollte das gelten? Viele Grüße Wally \(\endgroup\)


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nitram999
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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-26

Hallo Wally, mit deinem Ansatz komme ich auf Folgendes: Ansatz: u_p (t) = Y*(c_1 (t);c_2 (t)) mit Y Fundamentalsystem. Einsetzen liefert nach einigen Rechenschritten: (c_1 '(t)*e^it +c_2 '(t)*e^(-it);-c_1 '(t)*i*e^it+c_2 '(t)*i*e^(-it))=(1;2e^t) Wie geht es weiter? LG nitram999 [Die Antwort wurde nach Beitrag No.8 begonnen.]


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Wally
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  Beitrag No.11, eingetragen 2022-11-26

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\) Das ist ein lineares Gleichungssystem für \( c_1'\) und \( c_2'\). Löse das am besten mit der Cramerschen Regel. Viele Grüße Wally \(\endgroup\)


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nitram999
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  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-26

Danke für deine Antwort Wally! Du hast natürlich recht. \quoteon(2022-11-26 19:12 - Wally in Beitrag No. 9) Die Zeile mit \( b=-d=1\), wieso sollte das gelten? \quoteoff Ich berichtige den unteren Teil: Setzt man dies in (II) ein, so ergibt sich mit b=-d: -b*e^t = a+b*e^t +2*e^t Wählt man hier a=0, so folgt für b=-1 und somit d=1. Also folgt: u_p (t) = (-e^t;1+e^t) Setzt man diese Lösung zur Probe in die DGL ein, dann folgt: (-e^t;e^t)=(0,-1;1,0)*(-e^t;1+e^t) +(1;2e^t) =(-1-e^t +1;-e^t+2*e^t)=(-e^t;e^t) Und so passt es jetzt auch. Vielen Dank schon mal für die Hilfe! LG nitram999 [Die Antwort wurde nach Beitrag No.10 begonnen.]


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nitram999
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  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-26

Danke auch für diesen Hinweis Wally! \quoteon(2022-11-26 19:22 - Wally in Beitrag No. 11) Das ist ein lineares Gleichungssystem für \( c_1'\) und \( c_2'\). Löse das am besten mit der Cramerschen Regel. \quoteoff Hier ergibt sich: (c_1 '(t);c_2 '(t))=((i*e^(-it)-2e^t *e^(-it))/(2i);(e^it *2e^t+i*e^it)/(2i)) Wie kann man das so umformen, sodass man schön integrieren kann und dann die partikuläre Lösung erhält? LG nitram999


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Wally
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  Beitrag No.14, eingetragen 2022-11-26

Ich glaube gar nicht. Das ist immer ein etwas bitterer Weg, wenn man ein Fundamentalsystem mit komplexen Einträgen hat. Dafür ist es eine Methode, die immer funktioniert (und die man einem Computer - der sich an schwierigen Rechnungen nicht stört- einfach einprogrammieren kann). Viele Grüße Wally


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nitram999
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  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-26

Das heißt, falls das eine Frage für eine schriftliche Prüfung ist, dann empfiehlt sich schon eher der erste Weg hier?


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Wally
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  Beitrag No.16, eingetragen 2022-11-26

Solange keine Resonanz auftritt, d.h. die Exponenten der Exponentialfunktionen in Inhomogenität und homogener Lösung verschieden sind, ja. Viele Grüße Wally


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nitram999 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
nitram999 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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