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Universität/Hochschule Stabilität von Gleichgewichtspunkten
nitram999
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  Themenstart: 2022-11-28

Hallo, ich habe eine Frage zu folgender Aufgabe: https://matheplanet.at/matheplanet/nuke/html/uploads/b/51196_dgl_3.JPG Ich habe bereits Einiges gelöst: In a) habe ich folgendes gezeigt (unter Verwendung der Hessematrix etc.): Die kritischen Punkte sind: (0,0) (0,1) (1/2 , 1/2)=:A und (-1/2 , 1/2)=:B (0,0) und (0,1) sind Sattelpunkte A ist ein isoliertes lokales Maximum B ist ein isoliertes lokales Minimum In b) zeigt man mit dem Prinzip der linearisierten Stabilität, dass (0,0) und (0,1) instabil sind. Für B habe ich das Stabilitätskriterium von Ljapunov verwendet: Als Ljapunov-Fkt. habe ich L(x,y):=g(x,y)-g(B) gewählt, denn =0. Und dann ist L(B)=0 und, da nach a) B ein striktes lok. Minimum ist, ex. eine Umgebung U um B sodass L(x,y)>0=L(B) ist für alle (x,y)\el\ U\\{B}. Meine Frage bezieht sich auf den Gleichgewichtspunkt A: Hier wollte ich analog zu Punkt B vorgehen. Im Instabilitätskriterium (in meinem Skript) wird hier aber vorausgesetzt, dass man eine strikte Ljapunov Funktion hat. Das fällt mir schwer zu konstruieren. Wie zeigt man also die Stabilität/Instabilität von B? Sonst hätte ich, wie folgt argumentiert: Als Ljapunov-Fkt. wählt man L(x,y):=g(x,y)-g(A), denn =0 (aber eben nicht strikt!?). Und dann ist L(A)=0 und, da nach a) A ein striktes lok. Maximum ist, ex. eine Umgebung U um A sodass L(x,y)<0=L(B) ist für alle (x,y)\el\ U\\{B}. Dann folgt, dass A instabil ist. LG nitram999


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Wally
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-11-28

Und wenn das jetzt ein stabiler, nicht asymptotisch stabiler kritischer Punkt wäre? Viele Grüße Wally


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nitram999
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-28

Hallo Wally, danke für deine Antwort! Also du meinst dann ein Widerspruchsbeweis? Und wenn man bei Stabilität einen Widerspruch bekommt, dann muss es zwingend instabil sein. LG nitram999


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Wally
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-11-28

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\) Lies noch mal nach, was du für den Fall \( \langle \nabla L,f\rangle=0 \) gelernt hast. Viele Grüße Wally \(\endgroup\)


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nitram999
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-28

Hallo Wally, mein Problem ist jetzt, dass das Stabilitätskriterium von Ljapunov keine Genau-Dann-Wenn-Aussage liefert, sondern nur eine Implikation. Wenn ich in einem Widerspruchsbeweis also annehme, dass der Punkt A stabil ist, dann wüsste ich nicht, wie man weiter argumentieren soll. \quoteon(2022-11-28 16:05 - Wally in Beitrag No. 3) Lies noch mal nach, was du für den Fall \( \langle \nabla f, L\rangle=0 \) gelernt hast. \quoteoff Du meinst hier wahrscheinlich, dass f und L ausgetauscht sind? Wenn ja, dann würde falls L stetig differenzierbar ist, folgen, dass L eine Ljapunov-Fkt. des DGL-Systems ist. Andererseits kann man auch sagen, dass L ein erstes Integral des DGL-Systems ist. Wie bringt mich das aber weiter? LG nitram999


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Wally
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-11-28

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\) Sorry, hab ich verbaselt mit \( f\) und \( L\). Ist oben korrigiert.\(\endgroup\)


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nitram999
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-28

Kein Problem Wally! Vielleicht kann mir noch jemand bei meiner Frage helfen? LG nitram999


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Wally
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-11-28

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\) In der Regel wird bewiesen, dass hier im "=0"-Fall Stabilität, aber keine asymptotische Stabilität vorliegt. Die Lösungskurven laufen ja in der Höhenlinien der Funktion \( g\). Viele Grüße Wally \(\endgroup\)


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nitram999
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-28

Hallo Wally, meinst du damit, dass auch der Punkt A stabil ist? Geht es dann so? Also wenn g(x,y) ein Erstes Integral für das DGL System ist, dann sind Lösungen entlang von g dann ja konstant. Somit verlassen sie eine Umgebung um die Ruhelage nicht, sind also beschränkt. Und aufgrund der Beschränktheit folgt mit dem Satz vom Verlauf der Lösungen im Großen dann, dass das max. Existenzintervall der Lösung ganz R ist. Nach der Definition für eine stabile Ruhelage wäre A dann stabil. Mich verwirrt es jedoch immernoch, dass B stabil war und dort ein lok. Minimum war und so jetzt auch A stabil wäre, obwohl dort ein lok. Maximum war. Dann könnte ich doch für B auch so argumentieren und man bräuchte Ljapunov gar nicht oder? LG nitram999


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Wally
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  Beitrag No.9, eingetragen 2022-11-28

Für mich ist das, was ich oben geschrieben habe, ein Teil des Satzes von Ljapunov. Viele Grüße Wally


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nitram999
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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-29

Okay, das heißt meine Vermutung ist richtig und beide Punkte sind stabil? LG nitram999


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nitram999 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.

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