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Strukturen und Algebra » Gruppen » p-Sylowgruppen der S_n
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Universität/Hochschule p-Sylowgruppen der S_n
nitram999
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Dabei seit: 11.02.2019
Mitteilungen: 413
Wohnort: Würzburg
  Themenstart: 2022-11-28

Hallo, ich habe folgende Frage: Woher weiß man, dass die p-Sylowgruppen der S_n abelsch sind, wenn p<=n


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ligning
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-11-28

Hallo, denk mal darüber nach, was die Ordnung einer $p$-Sylowgruppe in diesem Fall ist. Was ist die Ordnung von $S_n$? Wie ist eine $p$-Sylowgruppe definiert? Was sagt dir die Bedingung $n[Verschoben aus Forum 'Strukturen und Algebra' in Forum 'Gruppen' von ligning]


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nitram999
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Wohnort: Würzburg
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-28

Hallo ligning, danke für deine Antwort! Also folgendes weiß man: abs(S_n)=n!. Jede Untergruppe von S_n mit Ordnung p^m , m\el\ \IN_0 , wobei p^m die maximale p-Potenz ist, die abs(S_n) teilt, ist eine p-Sylowgruppe von S_n Dennoch weiß ich nicht wirklich, wie man hier herangeht. Ich wollte versuchen, irgendwie die Anzahl n_p der p-Sylowgruppen von S_n zu bestimmen. Jedoch fällt mir das hier schwer. Man kann auch schlecht Sätze verwenden wie: -Gruppen von Primzahlordnung sind zyklisch also insbesondere abelsch. -Gruppen von Primquadratordnung sind abelsch (nach Struktursatz). Weil es kann ja auch sein, dass eine p-Sylowgruppe Ordnung p^4 hat für den Fall z.B. p=5 und n=20, denn 5<=20<25=5^2 und abs(S_20)=5^4 *Restfaktoren. Vielen Dank für weitere Hinweise! LG nitram999


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helmetzer
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-11-28

https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=174266&post_id=1285687 Habe es selber nicht weiter angeschaut.


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ligning
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  Beitrag No.4, eingetragen 2022-11-28

Ich hab die Aufgabe wohl ein bisschen unterschätzt.


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nitram999
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-28

Danke helmetzer! In dem Beitrag gehts schon eher um Details, die mir aktuell noch nicht wirklich viel weiterhelfen. LG nitram999


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hippias
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Mitteilungen: 313
  Beitrag No.6, eingetragen 2022-11-30

Sei $X$ eine Menge der Mächtigkeit $n$. Sei $S$ eine $p$-Sylowgruppe von $S(X)$. Ziel ist es zu zeigen, dass für die Kommutatorgruppe $S'=1$ gilt. 1. Überzeuge dich von der Richtigkeit der Behauptung, wenn $n=p$ ist. 2. Überlege dir die möglichen Bahnlängen der Operation von $S$ auf $X$ (hier geht die Voraussetzung ein). 3. Ist $Y\subseteq X$ ein $S$-Orbit der Länge $p$, so betrachte die Einschränkung der Operation von $S$ auf $Y$. Überlege dir, wie $S'$ auf $Y$ operiert, indem du 1. berücksichtigst. Kombiniere nun alles.


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