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Analysis » Folgen und Reihen » Grenzwert einer Reihe
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Universität/Hochschule J Grenzwert einer Reihe
mhipp
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  Themenstart: 2022-11-28

Hi zusammen, folgende Aufgabe: Untersuchen Sie die folgende Reihe auf Konvergenz und bestimmen Sie ggfs. den Grenzwert: \(\sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{n^{n+1}}\) Die Konvergenz konnte ich relativ einfach mithilfe einer konvergenten Majorante, nämlich \(\sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{n^{n}}\), nachweisen. Ich komme aber nicht darauf, wie ich den Wert bestimmen soll. Könnt ihr mir vielleicht einen Hinweis geben? Liebe Grüße! Max :)


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shadowking
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-11-28

Hallo mhipp, hast du einen Anhalt, wie der Grenzwert bei der konvergenten Majorante bestimmt wurde? Du könntest dich am Nachweis orientieren, dass $\int_0^1 \frac{1}{x^x}\,\mathrm{d}x\,=\,\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^k}$, um eine Funktion zu finden, deren Integral diesem Grenzwert entspricht. Der Wert scheint sehr nahe an $\frac{\mathrm{e}}{2}$ zu liegen, aber nicht damit identisch zu sein. Ansonsten komme ich auch auf keinen geschlossenen Ausdruck. Gruß shadowking


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Wauzi
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  Beitrag No.2, eingetragen 2022-11-29

Hallo, Näherungswerte liefert auch die Anwendung der Stirlingformel, allerdings mit einer unangenehmen Reihe, nämlich sum(sqrt(k)/e^k,,n) mit jeweils wachsenden Anfangswert. Diese führt dann zum Integrallogarithmus. Ein Fortschritt scheint mir das aber nicht ernsthaft zu sein. Das Problem sind natürlich die Anfangswerte, da hier der Fehler der Stirlingformel zu groß ist Gruß Wauzi


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mhipp
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-29

Leider habe ich keine Ahnung, was der Wert der konvergenten Majorante ist, ich weiß lediglich, DASS sie konvergiert (Quotientenkriterium). Ich habe kurzzeitig an den Einschachtelungssatz gedacht, kenne aber keine Reihen, die diese Reihe geschickt einschachteln würden und deren Wert mir bekannt ist... Ich bin gerade Anfang des ersten Semesters, ich glaube nicht, dass ich mit Stirlingformel und Integrallogarithmus arbeiten soll. Ist die Aufgabe vielleicht missverständlich gestellt und ich soll lediglich einen Näherungswert angeben, oder eine obere Schranke?


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PhysikRabe
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  Beitrag No.4, eingetragen 2022-11-29

Der Wert der Majorante \(\sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{n^{n}}\) ist auf OEIS unter A094082 zu finden. Dort steht auch eine Integraldarstellung, nämlich $$\sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{n^{n}}=\int\limits_0^\infty \frac{xe^x}{(e^x-x)^2}\,\mathrm{d}x=1.879853862175258533486306145\ldots\, ,$$ die man offenbar aus der bekannten Identität $n!=\int_0^\infty x^n e^{-x}\,\mathrm{d}x$ für die Gammafunktion erhält. Außerdem gibt es unter "Comments" eine Integraldarstellung für die Reihe \(\sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{n^{n+2}}\) (mit Potenz $n+2$ im Nenner, anstelle der gewünschten $n+1$): $$\sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{n^{n+2}}=-\int\limits_0^\infty \log(1-xe^{-x})\,\mathrm{d}x = 1.157694752682\ldots\, .$$ Das hilft jetzt vielleicht nicht wirklich weiter, illustriert aber, dass das Problem nicht ganz elementar lösbar zu sein scheint. Man kann sich bestimmt einen "geschlossenen" Integralausdruck zusammenbasteln, aber der Wert wird wohl nur numerisch zu bestimmen sein. Grüße, PhysikRabe


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mhipp
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-29

Vielen Dank für eure ganzen Antworten, ich warte dann wohl mal ab, bis die Lösungen dieses Übungsblatts veröffentlicht werden und melde mich ggfs nochmal! Schönen Abend!


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