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Mathematik » Stochastik und Statistik » Gleichungskette zum Erwartungswert
Autor
Universität/Hochschule J Gleichungskette zum Erwartungswert
lattemacchiato
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 09.11.2022
Mitteilungen: 45
  Themenstart: 2022-12-01

Hallo, könnte mir vielleicht sagen, ob die untere Gleichungskette (insb. der Markierte Teil) so stimmt, bzw. wie man ihn verbessern könnte? Ich wäre über jede Hilfe sehr dankbar. Viele Grüße LatteMacchiato

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AnnaKath
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-12-01

Huhu lattemacchiato, natürlich ist Deine Frage ohne Kontext fast nicht zu beantworten. Wenn man aber mal eine ziemlich übliche Bezeichnung unterstellt und ein bisschen interpretiert, so ist die markierte Stelle korrekt. Ist nämlich $F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariable, so ist $F$ von beschränkter Variation. Sofern die linke Seite der Gleichungskette existiert (was wir voraussetzen müssen), existiert also auch das Stieltjes-Integral $\int_{[0, \infty]} x \: \mathrm{d}F(x)$. Ist $F$ darüber hinaus stetig differenzierbar (was wir mal daraus schliessen, dass $\mathbb{P} \circ X^{-1}$ eine Lebesgue-Dichte $f$ zu besitzen scheint), so gilt genau die gelb markierte Beziehung. (und auch Dein Ergebnis am Ende der Gleichungskette ist korrekt, wobei ich es bevorzuge, Klammern um das $1-F(t)$ zu setzen). lg, AK

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lattemacchiato
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
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Mitteilungen: 45
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-01

Huhu AnnaKath, vielen lieben Dank für deine Antwort und vor allem dafür, dass du mir geschrieben hast, obwohl Informationen fehlen. Deine "übliche Unterstellung" war aber komplett richtig vermutet und ich freue mich, dass das unter diesen Voraussetzungen gilt. Vielen Dank!

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