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  DGL für parameterabhängiges Integral zeigen |
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SergejGleitman
Aktiv 
Dabei seit: 13.11.2019
Mitteilungen: 65
 |  Themenstart: 2022-12-02
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\(\begingroup\)\(%Öffnende und schließende Operatoren
\newcommand{\DeclareAutoPairedDelimiter}[3]{%
\expandafter\DeclarePairedDelimiter\csname Auto\string#1\endcsname{#2}{#3}%
\begingroup\edef\x{\endgroup
\noexpand\DeclareRobustCommand{\noexpand#1}{%
\expandafter\noexpand\csname Auto\string#1\endcsname*}}%
\x}
\DeclareAutoPairedDelimiter{\set}{\{}{\}}
\DeclareAutoPairedDelimiter{\norm}{\lVert}{\rVert}
\DeclareAutoPairedDelimiter{\abs}{\lvert}{\rvert}
\DeclareAutoPairedDelimiter{\dual}{\langle}{\rangle}
\DeclareAutoPairedDelimiter{\mset}{\lbrace}{\rbrace}
%Konstanten
\newcommand{\ue}{\mathrm{e}}
\newcommand{\ui}{\mathrm{i}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\ud}{\mathrm{d}}
%Mengen
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\U}{\mathbb{U}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
\newcommand{\T}{\mathbb{T}}
\renewcommand{\H}{\mathbb{H}}
\newcommand{\F}{\mathbb{F}}
\newcommand{\Ball}{\mathrm{B}}
\newcommand{\ol}[1]{\overline{#1}}
%Gängige Funktionen
\DeclareMathOperator{\sgn}{sgn}
\DeclareMathOperator{\proj}{proj}
\DeclareMathOperator{\artanh}{artanh}
\DeclareMathOperator{\Area}{A}
\DeclareMathOperator{\RE}{Re}
\DeclareMathOperator{\IM}{Im}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\DeclareMathOperator{\ran}{ran}
\DeclareMathOperator{\Id}{Id}
\DeclareMathOperator{\Log}{Log}
\DeclareMathOperator{\Arg}{Arg}
\def\haken#1{\underline{#1}{\raise -0.3ex\hbox{\vphantom{$#1$}\vrule height 0.7ex}}}
\DeclareMathOperator{\Span}{span}
\DeclareMathOperator{\supp}{supp}
\DeclareMathOperator{\dist}{dist}
%Funktionenräume
\DeclareMathOperator{\sL}{\mathcal{L}}
\DeclareMathOperator{\Lp}{L}
\DeclareMathOperator{\Ck}{C}
\DeclareMathOperator{\Wkp}{W}
\newcommand{\Moeb}{\textrm{M\"ob}}
\DeclareMathOperator{\Isom}{Isom}
\)
Moin,
ich hänge gerade an einem Beweis:
\[
F'(x) = \int_0^\infty\frac{\partial}{\partial x}f(x,y)\ud y \\
= \int_0^\infty y\ue^{-y^2}\cos(xy)\ud y \\
=\dots\\
= \int_0^\infty \ue^{-y^2} \left(y- \frac{1}{2} x\sin(xy)\right)\,\ud y\\
= \int_0^\infty y \ue^{-y^2} \ud y
- \frac{1}{2}\int_0^\infty x\ue^{-y^2}\sin(xy)\,\ud y\\
= \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\int_0^\infty x\ue^{-y^2}\sin(xy)\,\ud y\\
= \frac{1}{2}(1-x F(x))
\]
Ich weiß nach einem Satz über parameterabhängige Integrale, dass sich die Ableitung von \(F\) wie oben schreiben lässt. Nun soll die DGL unten gelten, aber ich sehe nicht wie ich da hinkommen soll. Ist das irgend ein Additionstheorem, was ich übersehe?
LG und danke für jede Hilfe
Serj\(\endgroup\)
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nzimme10
Senior 
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 1975
Wohnort: Köln
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-12-02
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Hallo,
an welcher Stelle genau kommst du nicht weiter? Bei den Pünktchen?
LG Nico
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SergejGleitman
Aktiv
Dabei seit: 13.11.2019
Mitteilungen: 65
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-02
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\quoteon(2022-12-02 20:55 - nzimme10 in Beitrag No. 1)
Hallo,
an welcher Stelle genau kommst du nicht weiter? Bei den Pünktchen?
LG Nico
\quoteoff
Moin, ja also der Weg von unten, war ein Versuch. Keine Ahnung on man 1/2 sinnvoll als das obige Integral schreiben sollte. Im Wesentlichen weiß ich nicht wie ich bei den Pünktchen weitermachen soll, aber es kann sein das der untere Teil meiner Gleichungskette nicht zielführend ist.
LG Serj
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Kuestenkind
Senior 
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2515
| Beitrag No.3, eingetragen 2022-12-02
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Huhu Serj,
aus \(f'(x)=\frac{1}{2}\left(1-xf(x)\right)\) folgt \(2f'(x)+xf(x)=1\). Aus \(f(x)=\int_0^\infty e^{-y^2}\sin(xy)\, \dd y\) folgt \(f'(x)=\int_0^\infty e^{-y^2}y\cos(xy)\, \dd y\). Nun ist:
\(\displaystyle 2\int_0^\infty e^{-y^2}y\cos(xy)\, \dd y+x\int_0^\infty e^{-y^2}\sin(xy)\, \dd y=\int_0^\infty \frac{\dd}{\dd y}\left(-e^{-y^2}\cos(xy)\right) \, \dd y=-e^{-y^2}\cos(xy)\bigg|^\infty_0=1\)
Gruß,
Küstenkind
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SergejGleitman
Aktiv
Dabei seit: 13.11.2019
Mitteilungen: 65
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-03
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Oh man, war ja garnicht so schwer. Produktregel also - Danke Küstenkind!
LG Serj
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SergejGleitman hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
SergejGleitman hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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2023-02-08 20:38 U ?
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