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Analysis » Integration » DGL für parameterabhängiges Integral zeigen
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Universität/Hochschule J DGL für parameterabhängiges Integral zeigen
SergejGleitman
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  Themenstart: 2022-12-02

\(\begingroup\)\(%Öffnende und schließende Operatoren \newcommand{\DeclareAutoPairedDelimiter}[3]{%   \expandafter\DeclarePairedDelimiter\csname Auto\string#1\endcsname{#2}{#3}%   \begingroup\edef\x{\endgroup     \noexpand\DeclareRobustCommand{\noexpand#1}{%       \expandafter\noexpand\csname Auto\string#1\endcsname*}}%   \x} \DeclareAutoPairedDelimiter{\set}{\{}{\}} \DeclareAutoPairedDelimiter{\norm}{\lVert}{\rVert} \DeclareAutoPairedDelimiter{\abs}{\lvert}{\rvert} \DeclareAutoPairedDelimiter{\dual}{\langle}{\rangle} \DeclareAutoPairedDelimiter{\mset}{\lbrace}{\rbrace} %Konstanten \newcommand{\ue}{\mathrm{e}} \newcommand{\ui}{\mathrm{i}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\ud}{\mathrm{d}} %Mengen \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\U}{\mathbb{U}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\T}{\mathbb{T}} \renewcommand{\H}{\mathbb{H}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\Ball}{\mathrm{B}} \newcommand{\ol}[1]{\overline{#1}} %Gängige Funktionen \DeclareMathOperator{\sgn}{sgn} \DeclareMathOperator{\proj}{proj} \DeclareMathOperator{\artanh}{artanh} \DeclareMathOperator{\Area}{A} \DeclareMathOperator{\RE}{Re} \DeclareMathOperator{\IM}{Im} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \DeclareMathOperator{\ran}{ran} \DeclareMathOperator{\Id}{Id} \DeclareMathOperator{\Log}{Log} \DeclareMathOperator{\Arg}{Arg} \def\haken#1{\underline{#1}{\raise -0.3ex\hbox{\vphantom{$#1$}\vrule height 0.7ex}}} \DeclareMathOperator{\Span}{span} \DeclareMathOperator{\supp}{supp} \DeclareMathOperator{\dist}{dist} %Funktionenräume \DeclareMathOperator{\sL}{\mathcal{L}} \DeclareMathOperator{\Lp}{L} \DeclareMathOperator{\Ck}{C} \DeclareMathOperator{\Wkp}{W} \newcommand{\Moeb}{\textrm{M\"ob}} \DeclareMathOperator{\Isom}{Isom} \) Moin, ich hänge gerade an einem Beweis: \[ F'(x) = \int_0^\infty\frac{\partial}{\partial x}f(x,y)\ud y \\ = \int_0^\infty y\ue^{-y^2}\cos(xy)\ud y \\ =\dots\\ = \int_0^\infty \ue^{-y^2} \left(y- \frac{1}{2} x\sin(xy)\right)\,\ud y\\ = \int_0^\infty y \ue^{-y^2} \ud y - \frac{1}{2}\int_0^\infty x\ue^{-y^2}\sin(xy)\,\ud y\\ = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\int_0^\infty x\ue^{-y^2}\sin(xy)\,\ud y\\ = \frac{1}{2}(1-x F(x)) \] Ich weiß nach einem Satz über parameterabhängige Integrale, dass sich die Ableitung von \(F\) wie oben schreiben lässt. Nun soll die DGL unten gelten, aber ich sehe nicht wie ich da hinkommen soll. Ist das irgend ein Additionstheorem, was ich übersehe? LG und danke für jede Hilfe Serj\(\endgroup\)


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nzimme10
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-12-02

Hallo, an welcher Stelle genau kommst du nicht weiter? Bei den Pünktchen? LG Nico


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SergejGleitman
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-02

\quoteon(2022-12-02 20:55 - nzimme10 in Beitrag No. 1) Hallo, an welcher Stelle genau kommst du nicht weiter? Bei den Pünktchen? LG Nico \quoteoff Moin, ja also der Weg von unten, war ein Versuch. Keine Ahnung on man 1/2 sinnvoll als das obige Integral schreiben sollte. Im Wesentlichen weiß ich nicht wie ich bei den Pünktchen weitermachen soll, aber es kann sein das der untere Teil meiner Gleichungskette nicht zielführend ist. LG Serj


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Kuestenkind
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-12-02

Huhu Serj, aus \(f'(x)=\frac{1}{2}\left(1-xf(x)\right)\) folgt \(2f'(x)+xf(x)=1\). Aus \(f(x)=\int_0^\infty e^{-y^2}\sin(xy)\, \dd y\) folgt \(f'(x)=\int_0^\infty e^{-y^2}y\cos(xy)\, \dd y\). Nun ist: \(\displaystyle 2\int_0^\infty e^{-y^2}y\cos(xy)\, \dd y+x\int_0^\infty e^{-y^2}\sin(xy)\, \dd y=\int_0^\infty \frac{\dd}{\dd y}\left(-e^{-y^2}\cos(xy)\right) \, \dd y=-e^{-y^2}\cos(xy)\bigg|^\infty_0=1\) Gruß, Küstenkind


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SergejGleitman
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-03

Oh man, war ja garnicht so schwer. Produktregel also - Danke Küstenkind! LG Serj


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