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Analysis » Funktionen » Wie heißt der komplexe Definitionsbereich einer Funktion, der keine isolierten Punkte enthält?
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Universität/Hochschule J Wie heißt der komplexe Definitionsbereich einer Funktion, der keine isolierten Punkte enthält?
IVmath
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  Themenstart: 2022-12-02

Hallo, könnt Ihr mir sagen, ob es einen Namen, einen mathematischen Begriff, gibt für einen komplexen Definitionsbereich einer Funktion, der keine isolierten Punkte enthält? Es ist, glaube ich, die Vereinigungsmenge offener und/oder abgeschlossener Mengen. Beispiel im Reellen: __________ _______ Gegenbeispiel im Reellen: __________ x x ______ Der Definitionsbereich soll keine isolierten Punkte (x) enthalten. Vielen vielen Dank.


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nzimme10
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-12-03

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \renewcommand{\dd}{\ \mathrm d} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname} \renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}} \newcommand{\rot}{\opn{rot}} \newcommand{\div}{\opn{div}}\) Hallo, ich bin mir nicht sicher, ob ich dich richtig verstehe. Du meinst eine Menge $D\subseteq \mathbb C$, so dass kein $z\in D$ ein isolierter Punkt von $D$ ist, richtig? Äquivalent dazu könnte man sagen, dass jedes $z\in D$ ein Häufungspunkt von $D$ ist, was wiederum $D\subseteq D'$ bedeutet, wobei $D'$ die Derivierte von $D$ ist (die Menge aller Häufungspunkte von $D$). In diesem Fall gibt es da glaube ich keinen besonderen Namen dafür. Solch eine Menge heißt "dense-in-itself" (ist mir auf deutsch noch nie begegnet, aber man könnte wohl "dicht in sich" bzw. "insichdicht" sagen, was etwas anderes als die triviale Aussage "$D$ liegt dicht in $D$" ist). Wenn $D$ zusätzlich abgeschlossen ist, dann ist $D$ eine so genannte perfekte Menge. LG Nico\(\endgroup\)


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StefanVogel
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  Beitrag No.2, eingetragen 2022-12-03

Auf Winkipedia Häufungspunkte einer Menge gibt es die Bezeichnung "insichdicht" (im Absatz "p heißt...").


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IVmath
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-03

Ja, das scheint es zu treffen. Prima. Danke. Nun sind die Begriffe Häufungspunkt und insichdichte Menge aber nicht jedem Mathematikinteressierten geläufig. Ich möchte deshalb bei dem Begriff isolierte Punkte bleiben. Kann ich den Definitionsbereich einer Funktion angeben als Teilmenge der Komplexen Zahlen, die keine isolierten Punkte enthält? Der Begriff "isolierter Punkt" stammt ja aus der Topologie, und meine Funktionen aus der Analysis.


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SergejGleitman
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  Beitrag No.4, eingetragen 2022-12-03

Moin IVmath, \quoteon(2022-12-03 14:51 - IVmath in Beitrag No. 3) Der Begriff "isolierter Punkt" stammt ja aus der Topologie, und meine Funktionen aus der Analysis. \quoteoff Stetigkeit kann doch auch bezüglich Topologien definiert werden, ich sehe das Argument nicht, warum diese Bereiche sich hier nicht überschneiden sollten. Die Funktionen auf den komplexen Zahlen sind ja auch Funktionen, von metrische Räume in metrische Räume, also auch insbesondere Funktionen von topologischen Räumen in topologische Räume. Jedem Grenzprozess aus der Analysis liegt doch topologische Netzkonvergenz zugrunde oder nicht? LG Serj


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IVmath
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-03

Das war mir dann inzwischen auch eingefallen. Prima. Dann kann ich schreiben von einer Funktion mit einem Definitionsbereich, der keine isolierten Punkte enthält. Vielen vielen Dank.


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IVmath
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-04

Folgendes ist mir noch nicht klar. 1.) Enthält eine einelementige Menge einen isolierten Punkt? 2.) Ist eine einelementige Menge diskret? 3.) Ist eine einelementige Menge offen, oder abgeschlossen? 4.) Ist eine mehrelementige diskrete Menge offen, oder abgeschlossen? (Ich bin kein Mathematiker und kein Student.)


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DavidM
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-12-04

\quoteon(2022-12-04 11:43 - IVmath in Beitrag No. 6) Folgendes ist mir noch nicht klar. 1.) Enthält eine einelementige Menge einen isolierten Punkt? \quoteoff Ja, der einzige Punkt einer solchen Menge ist ein isolierter Punkt. \quoteon 2.) Ist eine einelementige Menge diskret? \quoteoff Ja. \quoteon 3.) Ist eine einelementige Menge offen, oder abgeschlossen? 4.) Ist eine mehrelementige diskrete Menge offen, oder abgeschlossen? \quoteoff In beiden Fällen: Abgeschlossen ja, offen nein. (Zumindest, solange wir von Teilmengen von $\mathbb{R}^n$ oder $\mathbb{C}^n$ sprechen, in beliebigen topologischen Räumen kann das anders aussehen.)


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IVmath
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-04

Prima. Vielen Dank. Das erspart mir jede Menge Mühe.


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