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| Autor |
  Wie heißt der komplexe Definitionsbereich einer Funktion, der keine isolierten Punkte enthält? |
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IVmath
Aktiv 
Dabei seit: 29.07.2016
Mitteilungen: 705
 |  Themenstart: 2022-12-02
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Hallo,
könnt Ihr mir sagen, ob es einen Namen, einen mathematischen Begriff, gibt für einen komplexen Definitionsbereich einer Funktion, der keine isolierten Punkte enthält? Es ist, glaube ich, die Vereinigungsmenge offener und/oder abgeschlossener Mengen.
Beispiel im Reellen:
__________ _______
Gegenbeispiel im Reellen:
__________ x x ______
Der Definitionsbereich soll keine isolierten Punkte (x) enthalten.
Vielen vielen Dank.
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nzimme10
Senior 
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 1959
Wohnort: Köln
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-12-03
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
Hallo,
ich bin mir nicht sicher, ob ich dich richtig verstehe. Du meinst eine Menge $D\subseteq \mathbb C$, so dass kein $z\in D$ ein isolierter Punkt von $D$ ist, richtig? Äquivalent dazu könnte man sagen, dass jedes $z\in D$ ein Häufungspunkt von $D$ ist, was wiederum $D\subseteq D'$ bedeutet, wobei $D'$ die Derivierte von $D$ ist (die Menge aller Häufungspunkte von $D$).
In diesem Fall gibt es da glaube ich keinen besonderen Namen dafür. Solch eine Menge heißt "dense-in-itself" (ist mir auf deutsch noch nie begegnet, aber man könnte wohl "dicht in sich" bzw. "insichdicht" sagen, was etwas anderes als die triviale Aussage "$D$ liegt dicht in $D$" ist).
Wenn $D$ zusätzlich abgeschlossen ist, dann ist $D$ eine so genannte perfekte Menge.
LG Nico\(\endgroup\)
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StefanVogel
Senior 
Dabei seit: 26.11.2005
Mitteilungen: 4195
Wohnort: Raun
| Beitrag No.2, eingetragen 2022-12-03
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IVmath
Aktiv 
Dabei seit: 29.07.2016
Mitteilungen: 705
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-03
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Ja, das scheint es zu treffen. Prima. Danke.
Nun sind die Begriffe Häufungspunkt und insichdichte Menge aber nicht jedem Mathematikinteressierten geläufig. Ich möchte deshalb bei dem Begriff isolierte Punkte bleiben.
Kann ich den Definitionsbereich einer Funktion angeben als Teilmenge der Komplexen Zahlen, die keine isolierten Punkte enthält? Der Begriff "isolierter Punkt" stammt ja aus der Topologie, und meine Funktionen aus der Analysis.
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SergejGleitman
Aktiv
Dabei seit: 13.11.2019
Mitteilungen: 65
| Beitrag No.4, eingetragen 2022-12-03
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Moin IVmath,
\quoteon(2022-12-03 14:51 - IVmath in Beitrag No. 3)
Der Begriff "isolierter Punkt" stammt ja aus der Topologie, und meine Funktionen aus der Analysis.
\quoteoff
Stetigkeit kann doch auch bezüglich Topologien definiert werden, ich sehe das Argument nicht, warum diese Bereiche sich hier nicht überschneiden sollten. Die Funktionen auf den komplexen Zahlen sind ja auch Funktionen, von metrische Räume in metrische Räume, also auch insbesondere Funktionen von topologischen Räumen in topologische Räume.
Jedem Grenzprozess aus der Analysis liegt doch topologische Netzkonvergenz zugrunde oder nicht?
LG Serj
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IVmath
Aktiv
Dabei seit: 29.07.2016
Mitteilungen: 705
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-03
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Das war mir dann inzwischen auch eingefallen.
Prima. Dann kann ich schreiben von einer Funktion mit einem Definitionsbereich, der keine isolierten Punkte enthält.
Vielen vielen Dank.
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IVmath
Aktiv
Dabei seit: 29.07.2016
Mitteilungen: 705
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-04
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Folgendes ist mir noch nicht klar.
1.) Enthält eine einelementige Menge einen isolierten Punkt?
2.) Ist eine einelementige Menge diskret?
3.) Ist eine einelementige Menge offen, oder abgeschlossen?
4.) Ist eine mehrelementige diskrete Menge offen, oder abgeschlossen?
(Ich bin kein Mathematiker und kein Student.)
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DavidM
Senior
Dabei seit: 11.06.2012
Mitteilungen: 407
 | Beitrag No.7, eingetragen 2022-12-04
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\quoteon(2022-12-04 11:43 - IVmath in Beitrag No. 6)
Folgendes ist mir noch nicht klar.
1.) Enthält eine einelementige Menge einen isolierten Punkt?
\quoteoff
Ja, der einzige Punkt einer solchen Menge ist ein isolierter Punkt.
\quoteon
2.) Ist eine einelementige Menge diskret?
\quoteoff
Ja.
\quoteon
3.) Ist eine einelementige Menge offen, oder abgeschlossen?
4.) Ist eine mehrelementige diskrete Menge offen, oder abgeschlossen?
\quoteoff
In beiden Fällen: Abgeschlossen ja, offen nein. (Zumindest, solange wir von Teilmengen von $\mathbb{R}^n$ oder $\mathbb{C}^n$ sprechen, in beliebigen topologischen Räumen kann das anders aussehen.)
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IVmath
Aktiv
Dabei seit: 29.07.2016
Mitteilungen: 705
| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-04
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Prima. Vielen Dank. Das erspart mir jede Menge Mühe.
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IVmath hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
IVmath hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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