| |
| Autor |
  Beweis, dass die Umkehrfunktion keine elementare Funktion ist? |
|
IVmath
Aktiv 
Dabei seit: 29.07.2016
Mitteilungen: 705
 |  Themenstart: 2022-12-03
|
Hallo,
ist denn mein Beweis unten korrekt? Ich kann die Aussage meiner Vermutung noch nicht glauben.
Vermutung:
Seien
$f,h$ bijektive elementare Funktionen, deren Umkehrfunktionen elementare Funktionen sind,
$g$ eine bijektive elementare Funktion.
Wenn die Umkehrfunktion von $g$ keine elementare Funktion ist, dann ist die Umkehrfunktion der Funktion $F$ mit $F(x)=f(g(h(x)))$ keine elementare Funktion.
Die elementaren Funktionen (nach Liouville und Ritt) werden erzeugt durch Anwendung endlicher Anzahlen von $\exp$, $\ln$ und/oder algebraischen Funktionen einer oder mehrerer komplexer Variablen mit komplexen Koeffizienten.
Die Elementaren Funktionen sind abgeschlossen bezüglich Komposition. Die Komposition von elementaren Funktionen ist also ebenfalls wieder eine elementare Funktion.
Beweis:
$^{-1}$: Umkehrfunktion
Es ist $F^{-1}(x)=h^{-1}(g^{-1}(f^{-1}(x)))$.
Wir führen einen Widerspruchsbeweis.
Angenommen, es gäbe eine elementare Funktion $E$ sodass $F^{-1}=E$:
$$F^{-1}(x)=E(x).$$
$$h^{-1}(g^{-1}(f^{-1}(x)))=E(x)$$
$$g^{-1}(f^{-1}(x))=h(E(x))$$
$$g^{-1}(f^{-1}(f(x)))=h(E(f(x)))$$
$$g^{-1}(x)=h(E(f(x)))\tag{1}$$
Die rechte Seite von (1) ist Komposition elementarer Funktionen, also eine elementare Funktion. Die linke Seite dagegen ist eine nichtelementare Funktion. Die Annahme war also falsch.
q.e.d.
Vielen vielen Dank.
|
 Profil
|
DavidM
Senior 
Dabei seit: 11.06.2012
Mitteilungen: 407
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-12-03
|
Hallo IVMath,
ja, Vermutung und Beweis sind korrekt (wobei ich die Vermutung nicht besonders überraschend finde).
Gruß,
David
|
Profil
|
IVmath
Aktiv
Dabei seit: 29.07.2016
Mitteilungen: 705
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-03
|
\quoteon(2022-12-03 20:50 - DavidM in Beitrag No. 1)
wobei ich die Vermutung nicht besonders überraschend finde
\quoteoff
Ja, zu dem Schluss war ich dann inzwischen auch gekommen. Der Beweis sagt ja, dass die gewählte Darstellung der Umkehrfunktion von $F$ $h^{-1}(g^{-1}(f^{-1}(x)))$ keine elementare Funktion ist. Und aus der Gleichheit von Funktionen ergibt sich damit dann, dass auch keine andere Darstellung der Umkehrfunktion von $F$ eine elementare Funktion sein kann.
Prima. Vielen vielen Dank.
|
Profil
|
IVmath hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
IVmath hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
|
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2023 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die
Nutzungsbedingungen,
die Distanzierung,
die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]
|
Home / Seite ohne Frame
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
