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| Autor |
  Zeige, dass Ax = b ein Untervektorraum ist |
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Linalge
Neu 
Dabei seit: 04.12.2022
Mitteilungen: 3
 |  Themenstart: 2022-12-04
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Hallo liebe Mathe-Gemeinde,
ich bin neu hier und hoffe auf neue Denkanstöße, da ich seit gestern auf dem Schlauch stehe.
Aufgabe:
\
Gegeben sei eine Matrix A\el\ \IR^(n x m)
a) Zeige, dass die Menge W := menge(b \el\ \IR^n | Ax = b hat eine Lösung) ein Untervektorraum von \IR^n ist.
Mein Ansatz zu a):
Ich weiß: Ax = b ist genau dann lösbar, wenn Rang(A) = Rang(A\|b)
0_(\IR^n)\el\ W, da 0_(\IR^n) = (A*0_(\IR^m))\el\ W, da Rang(A) = Rang(A\|b)
\forall\ b_1, b_2 \el\ W gilt (b_1 + b_2)\el\ W, denn
b_1 + b_2 = A*x_1 + A*x_2 = (A*(x_1 + x_2))\el\ W, da (x_1 + x_2)\el\ \IR^m und Rang(A) = Rang(A\|b_1 + b_2)
\forall\ \lambda\el\ \IR, \forall\ b\el\ W gilt (\lambda*b)\el\ W, denn
\lambda*b = \lambda*(Ax) = (A*(\lambda x))\el\ W , da Rang(A) = Rang(A\|b)
Nun habe ich folgende Fragen:
1.) Ich habe Ax = b hat eine Lösung als äquivalent zu Rang(A) = Rang(A\|b) interpretiert. Ist das so richtig oder passt folgendes besser:
Ax = b ist genau dann für jedes c \el\ \IR^n lösbar, wenn Rang(A) = n.
Wenn ja, warum? Mir erscheint ersteres als der allgemeinere Fall und für zweites spricht der Fakt, dass W die Menge der b's aus dem \IR^n. Allmählich tendiere ich doch zur zweiten Interpretation.
1.2) Falls die erste Interpreation richtig ist, bin ich mir an der Stelle Rang(A) = Rang(A\|b_1 + b_2) nicht sicher.
Mein Gedanke war, wenn man b_1 und b_2 addiert, bekommt man ein " b_3 ". Nun ist Rang(A\|b_1)!=Rang(A\|b_2) im Allgemeinen.
Allerdings müsste Rang(A\|b_3) = Maximum(Rang(A\|b_1),Rang(A\|b_2)) sein. Ist das überhaupt richtig?
Oder kann man sagen, weil Ax=b_1 und Ax=b_2 eine Lösung haben gilt Rang(A) = Rang(A\|b_1) = Rang(A\|b_2) = Rang(A\|b_1 + b_2)
Zu b) will ich erst kommen, wenn ich die a) verstanden habe.
Danke für eure Hilfe 😄
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StrgAltEntf
Senior 
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 8197
Wohnort: Milchstraße
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-12-04
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Hallo Linalge,
willkommen auf dem Matheplaneten!
Ich habe mir nicht alles durchgelesen, aber ich denke, du gehst die Sache zu kompliziert an.
Was muss man denn alles zeigen, um zu beweisen, dass es ein UVR ist. Doch z. B. so etwas:
Wenn \(b_1,b_2\in W\) dann ist \(b_1+b_2\in W\).
Wieso gilt das? Verwende direkt die Definition von W! Mit Rängen brauchst du nicht zu argumentieren.
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Linalge
Neu
Dabei seit: 04.12.2022
Mitteilungen: 3
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-04
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Hallo StrgAltEntf,
um zu beweisen, dass es ein UVR ist, prüft man die drei UVRkriterien.
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i) Ist die Null des Vektorraums im UVR enthalten:
0_(\IR^n)\el\ W, da 0_(\IR^n) = (A*0_(\IR^m))\el\ W
ii) Ist der UVR unter Addition abgeschlossen:
\forall\ b_1, b_2 \el\ W gilt (b_1 + b_2)\el\ W, denn
b_1 + b_2 = A*x_1 + A*x_2 = (A*(x_1 + x_2))\el\ W, da (x_1 + x_2)\el\ \IR^m
iii) Ist der UVR unter Skalarmultiplikation abgeschlossen:
\forall\ \lambda\el\ \IR, \forall\ b\el\ W gilt (\lambda*b)\el\ W, denn
\lambda*b = \lambda*(Ax) = (A*(\lambda x))\el\ W
Hierbei habe ich die Linearität der Abbildung genutzt.
Wäre dies dann schon so bewiesen?
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StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 8197
Wohnort: Milchstraße
| Beitrag No.3, eingetragen 2022-12-04
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\quoteon(2022-12-04 16:32 - Linalge in Beitrag No. 2)
Wäre dies dann schon so bewiesen?
\quoteoff
Man kann es evtl. noch ein bisschen schöner aufschreiben, aber im Wesentlichen war es das.
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Linalge
Neu
Dabei seit: 04.12.2022
Mitteilungen: 3
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-04
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Nice, danke dir, StrgAltEnft.
Tatsächlich habe ich mir die Zähne an der Rang-Geschichte ausgebissen.
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