| |
| Autor |
 Konstruktion der rechten Seite einer DGL |
|
nitram999
Aktiv 
Dabei seit: 11.02.2019
Mitteilungen: 417
Wohnort: Würzburg
 |  Themenstart: 2022-12-09
|
Hallo,
ich versuche mich gerade an folgender Aufgabe:
https://matheplanet.at/matheplanet/nuke/html/uploads/b/51196_DGL_rechte_seite.JPG
Bei der a) hatte ich keine Probleme und habe f (x_1;x_2)=(-x_2;x_1) gewählt.
Bei der b) habe ich lange herumprobiert, weiß aber nicht wirklich wie man an so etwas herangeht.
Die c) habe ich daher noch gar nicht probieren können.
Ich würde mich über Tipps freuen.
LG nitram999
|
 Profil
|
studkal
Aktiv 
Dabei seit: 19.09.2021
Mitteilungen: 36
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-12-10
|
\(\begingroup\)\(\newcommand{\R}{\mathbb{R}}\)
Ich kann mir vorstellen, dass es hilfreich ist, (b) und (c) erst einmal in Polarkoordinaten zu lösen. Der Nachteil ist natürlich, dass es nicht so leicht ist, das zugehörige $f$ zu bestimmen.\(\endgroup\)
|
Profil
|
sonnenschein96
Senior 
Dabei seit: 26.04.2020
Mitteilungen: 705
| Beitrag No.2, eingetragen 2022-12-10
|
Hallo nitram999,
Du könntest versuchen, das ganze etwas systematischer anzugehen.
In Teil (a) ist wohl gemeint, dass es zu jeder Lösung \(x\) der DGL \(\dot{x}=f(x)\) ein \(c\in\mathbb{R}\) gibt mit \(E(x(t))=c\) für alle \(t\in\mathbb{R}\). Dies ist äquivalent zu
\[0=\frac{\mathrm d}{\mathrm d t}E(x(t))=2x_1(t)\dot{x}_1(t)+2x_2(t)\dot{x}_2(t)=2\langle x(t),\dot{x}(t)\rangle_2 = 2\langle x(t),f(x(t))\rangle_2.\]
Du musst also \(f(x)\) orthogonal zu \(x\) wählen. Der Vektor \((-x_2,x_1)^T\) gibt Dir die richtige Richtung, aber der Betrag ist noch frei wählbar. Du kannst also \(f(x)=g(x)(-x_2,x_1)^T\) mit einer stetig differenzierbaren Abbildung \(g\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\) (\(g\) nicht konstant \(0\)) wählen. Du hattest \(g\) konstant \(1\) gewählt. Durch das \(g\) hast Du nun mehr Möglichkeiten für \(f\), um auch die anderen Teilaufgaben zu lösen.
|
Profil
|
Wally
Senior 
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9680
Wohnort: Dortmund, Old Europe
 | Beitrag No.3, eingetragen 2022-12-11
|
\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Hallo nitram999,
der (in meinen Augen) beste Weg ist der, den studkal vorschlägt.
Als Starthilfe: die Erhaltungsgröße fordert, dass die Orbits in Kreisen um den Ursprung verlaufen, also
\[\frac{d}{dt}r=0\]
(Einfach, nicht wahr?)
Wenn du jetzt
\[\frac{d}{dt}\varphi=r \]
nimmst, hast du gleichförmige Kreisbewegungen - das willst du aber nicht.
Also wählst du
\[\frac{d}{dt}\varphi=g(r,\varphi) \]
mit einer geeigneten Funktion \( g\). Versuche es mal. Überlege dir, welche Eigenschaften diese Funktion haben soll.
Danach schreibst du die Dgl.mit der Kettenregel wieder in eine mit \( x\) und \( y\) um.
Anmerkung: \( \frac{d}{dt}\varphi=1 \) wäre keine so gute Idee, weil die Funktion ja im Nullpunkt auch stetig diffbar sein soll.
Viele Grüße
Wally \(\endgroup\)
|
Profil
|
| nitram999 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen. |
|
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2023 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die
Nutzungsbedingungen,
die Distanzierung,
die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]
|
Home / Seite ohne Frame
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
