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Analysis » Maßtheorie » Existenz einer Menge
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Universität/Hochschule Existenz einer Menge
ATuring
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  Themenstart: 2022-12-09

Hallo an alle hier! Ich hätte eine Frage passend zum Gebiet der Maßtheorie, genauer gesagt geht es um die Existenz einer Menge \(A\), die mutmaßlich folgende Eigenschaften erfüllen soll: 1) \(A\) \(\subseteq\) \(\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\) 2) \(A\) soll dicht in \(\mathbb{R}\) liegen 3) \(\lambda(A)\) = 0 wobei \(\lambda\) wahrscheinlich das allseits bekannte Lebesgue-Maß sein soll (auch wenn es in der Aufgabenstellung als solches nicht benannt wurde). Problematisch für mich ist dieses Dichte-Kriterium. Die einzigen, dichten Teilmengen aus \(\mathbb{R}\), die ich aus dem Stand heraus benennen würde, sind \(\mathbb{Q}\), (\(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\)) und Mengen \(B \subseteq \mathbb{R}\), wobei für \(B\) entweder \(\mathbb{Q} \subseteq B\) oder \((\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})\subseteq B\) gelten soll (also die Dichtheit von \(\mathbb{Q}\) oder \((\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})\) "überträgt" sich quasi auf \(B\)). Für mich ergibt sich nun folgendes: \(A\) kann nicht gleich \((\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})\) sein, da ansonsten das Maß unendlich wäre. Daher kann \(A\) auch keine Menge der obigen Form \(B\) sein, welches \((\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})\) enthält (da dessen Maß erst recht unendlich wäre). Daraus folgt für mich nun, dass \(A\) entweder gleich \(\mathbb{Q}\) oder gleich \(B \subseteq \mathbb{R}\) mit \(\mathbb{Q}\subseteq B\) sein muss. Beide Möglichkeiten "beißen" sich aber mit dem Kriterium, dass \(A\) nur irrationale Zahlen enthalten soll. Daher existiert solch eine Menge \(A\) aus meiner jetzigen (naiven) Sicht nicht. Das alles aber immer unter der Voraussetzung, dass meine Überlegungen zur Dichtheit aller rationalen bzw. aller irrationalen Zahlen in \(\mathbb{R}\) stimmen. Gäbe es also eine dichte Menge in \(\mathbb{R}\), die weder ganz \(\mathbb{Q}\), noch ganz \((\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})\) enthalten "muss", dann wäre das Argument ja hinfällig. Oder aber, es gibt so eine dichte Teilmenge, aber deren Maß wäre dann ungleich Null? Ich hoffe, da kann mir vielleicht jemand dankenswerterweise weiterhelfen?


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DerEinfaeltige
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Mitteilungen: 3262
  Beitrag No.1, eingetragen 2022-12-09

Ohne mich mit der Materie auszukennen: Was spricht dagegen, mit $\mathbb{Q}$ eine "irrationale Translation" durchzuführen? Also bspw. sowas wie $A_r = \{q + r~|~q \in \mathbb{Q}\}$ mit $r \in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ anzusetzen.


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