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 Inneres Produkt Abschätzung |
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mathsmaths
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 17.06.2020
Mitteilungen: 183
 |  Themenstart: 2022-12-09
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Hallo,
sei $a>1$. Gilt dann für alle $x,y\in\mathbb{R}^n$ stets $$\displaystyle\langle |y|^{a-2}y-|x|^{a-2}x,y-x \displaystyle\rangle \geq 0$$ ?
Hinter der Frage steckt eine etwas andere Aufgabenstellung - zuvor wollte ich es aber einfach mal allgemeiner fragen. Danke vorab!
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Nuramon
Senior 
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 3705
| Beitrag No.1, eingetragen 2022-12-09
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\d}{{\rm d}}
\newcommand{\rg}{\operatorname{rg}}
\newcommand{\spur}{\operatorname{spur}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil}
\newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\)
Hallo,
nimm an, dass $x\perp y$ und suche ein Gegenbeispiel.\(\endgroup\)
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mathsmaths
Wenig Aktiv
Dabei seit: 17.06.2020
Mitteilungen: 183
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-09
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Oh man, natürlich...danke!
Wie gesagt wollte ich zuerst prüfen, ob dies allgemein gilt. Mein eigentliches Anliegen ist das folgende:
Wir haben $f,g$ zwei positive $W^{1,a}(E)$-Funktionen, mit $a>1$ und $E\subset \mathbb{R}^n$ eine beschränkte, offene Menge. Zeigen möchte ich, dass dann $$\displaystyle\langle |\nabla f(x)|^{a-2}\nabla f(x) - |\nabla g(x)|^{a-2}\nabla g(x), \nabla f(x)-\nabla g(x)\displaystyle\rangle \geq 0$$ für fast alle $x\in E \cap \{y\in E: 0 < f(y)-g(y) < b \}$ für ein $b>0$ gilt.
Nachdem es also nicht allgemein im $\mathbb{R}^n$ für beliebige Vektoren gilt, muss man bestimmt verwenden, dass (fast alle) $x$ in obiger Menge sind. Allerdings sehe ich noch nicht ganz den Zusammenhang dazu zu den (schwachen) Gradienten von $f$ und $g$ und schon gar nicht, dass dies für alle $p>1$ gilt.
Ich bin dankbar für jede Hilfe!
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mathsmaths
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 17.06.2020
Mitteilungen: 183
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-10
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Hat jemand eine Idee? Ich bin seit gestern nicht weitergekommen. Zumindest sehe ich keine Abschätzung, die funktioniert...möglicherweise zu grob also...
Grüße und danke!
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mathsmaths
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Dabei seit: 17.06.2020
Mitteilungen: 183
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-18
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Ich bin leider noch immer nicht dahintergekommen und hab keine Ahnung, warum das gelten soll...🙃 Über Hilfe wäre ich sehr dankbar!
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mathsmaths
Wenig Aktiv
Dabei seit: 17.06.2020
Mitteilungen: 183
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-25
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Ich möchte diesen Thread noch einmal anstupsen... ich würde mich unglaublich über Hilfe oder Tipps freuen! 🙂
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| mathsmaths hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen. |
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