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| Autor |
  Monotonie / Banachscher Fixpunktsatz |
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Tom2177
Aktiv 
Dabei seit: 25.11.2022
Mitteilungen: 28
 |  Themenstart: 2022-12-13
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Hallo zusammen,
muss für folgende Funktion mit dem Banachscher Fixpunktsatz beweisen, dass sie genau einen Fixpunkt besitzt:
f: intervall(4,7)->intervall(4,7),f(x):=13x/20+49/5x
Hab nun schon die Lipschitzbedingung bewiesen und mir fehlt noch, dass ich zeige, dass das Bild innerhalb dem Intervall [4,7] liegt.
Meine Idee wäre es nachzuweisen, dass f in diesem Intervall monoton wächst.
Weil
f(4)=101/20 und f(7)=119/20
würde dann folgen, dass das Bild im Intervall liegt.
Was wäre ein Ansatz zum Zeigen der Monotonie in diesem Intervall?
(Differenzieren dürfen wir noch nicht)
Lg Thomas
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 Profil
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nzimme10
Senior 
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2063
Wohnort: Köln
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-12-13
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
Hallo,
wie wäre es, wenn du $f'$ berechnest und $f'>0$ in diesem Intervall nachweist?
LG Nico\(\endgroup\)
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Tom2177
Aktiv
Dabei seit: 25.11.2022
Mitteilungen: 28
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-13
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\quoteon(2022-12-13 20:15 - nzimme10 in Beitrag No. 1)
Hallo,
wie wäre es, wenn du $f'$ berechnest und $f'>0$ in diesem Intervall nachweist?
LG Nico
\quoteoff
Hallo,
habe leider vergessen zu erwähnen, dass wir nicht differenzieren dürfen.
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Kuestenkind
Senior
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2545
| Beitrag No.3, eingetragen 2022-12-13
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Dann nimm doch einfach die Definition. Zu zeigen ist dann \(f(x)x\geq 4\). Das läuft denn auf \((x-y)(13xy-196)<0\) hinaus, was offensichtlich richtig ist.
Gruß,
Küstenkind
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Tom2177
Aktiv
Dabei seit: 25.11.2022
Mitteilungen: 28
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-13
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\quoteon(2022-12-13 21:24 - Kuestenkind in Beitrag No. 3)
Dann nimm doch einfach die Definition. Zu zeigen ist dann \(f(x)x\geq 4\). Das läuft denn auf \((x-y)(13xy-196)<0\) hinaus, was offensichtlich richtig ist.
Gruß,
Küstenkind
\quoteoff
Danke!
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