| Autor |
 Gauß-Quadratur |
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eisenstein01
Aktiv 
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Mitteilungen: 152
 |  Themenstart: 2022-12-14
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Hi Leute, ich soll folgende Äquivalenz zeigen, bin aber ziemlich Ratlos:
Eine Interpolationsquadratur $Q_n(f) = \sum_{j=0} ^{n} a_jf(x_j)$ der Ordnung $n$ mit den paarw. disj. Stützstellen $x_0,....,x_n$ zur näherungsweisen Berechnung des Integrals $I(f) = \int_{a} ^{b}w(x)f(x)dx$ mit einer positiven Gewichtsfunktion $w$ ist genau dann eine Gaußsche Quadraturformel der Ordnung n, wenn $$\int_{a} ^{b}w(x)\omega_{n+1}(x)p(x)dx = 0$$ für alle $p \in P_n$, wobei $\omega_{n+1} = \prod_{k=0} ^n (x-x_k)$.
Hat vielleicht jemand einen Tipp oder eine Information/ Eigenschaft über die Gaußsche Quadraturformeln, die mir zumindest die Hin-Richtung bringt?
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piquer
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-12-15
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Hi!
Was weißt du über den Zusammenhang zwischen den Quadraturpunkten $x_j$ und den bzgl $w$ orthogonalen Polynomen?
Anmerkung: Es fehlt eine Einschränkung an die Gewichte $a_j$. Sonst kann die Quadraturformel beliebig schlecht sein und muss nicht mit der Gaußregel übereinstimmen.
Viele Grüße
Torsten
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eisenstein01
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-15
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\quoteon(2022-12-15 10:44 - piquer in Beitrag No. 1)
Was weißt du über den Zusammenhang zwischen den Quadraturpunkten $x_j$ und den bzgl $w$ orthogonalen Polynomen?
\quoteoff
Sind das nicht gerade die Nullstellen der Polynome?
\quoteon
Anmerkung: Es fehlt eine Einschränkung an die Gewichte $a_j$. Sonst kann die Quadraturformel beliebig schlecht sein und muss nicht mit der Gaußregel übereinstimmen.
\quoteoff
Eine solche Einschränlung gibt es in der Aufgabe leider nicht.
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piquer
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| Beitrag No.3, eingetragen 2022-12-15
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\quoteon
Sind das nicht gerade die Nullstellen der Polynome?
\quoteoff
Genau! Was kannst du deshalb über $\omega_{n+1}$ aussagen? Denn ein Polynom ist durch die Angabe seiner Nullstellen bereits...
\quoteon
Eine solche Einschränkung gibt es in der Aufgabe leider nicht.
\quoteoff
Dann ignorieren wir das und tun so, als wären die Gewichte korrekt.
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eisenstein01
Aktiv
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-15
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\quoteon
Genau! Was kannst du deshalb über $\omega_{n+1}$ aussagen? Denn ein Polynom ist durch die Angabe seiner Nullstellen bereits...
\quoteoff
Also wenn ich die Nullstellen eines Polynoms kenne, dann kann ich das Polynom in seiner Linearfaktorzerlegung darstellen, bis auf einen Vofaktor, d.h. es ist eindeutig bestimmt bis auf den Leitkoeffizienten?
Die Nullstellen von $\omega_{n+1}$ sind ja aber bereits die $x_j$. Ich sehe noch nicht, wohin der Beweis geht leider
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piquer
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| Beitrag No.5, eingetragen 2022-12-15
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Und welches Polynom hat noch genau diese Nullstellen?
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eisenstein01
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-15
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\quoteon(2022-12-15 13:08 - piquer in Beitrag No. 5)
Und welches Polynom hat noch genau diese Nullstellen?
\quoteoff
$p(x)$? Dann wäre $\omega_{n+1}(x)p(x) = \alpha(\omega_{n+1}(x))^2$
Wir hatten in der VL einen Satz, der besagte, dass $Q_n(f)$ genau dann den Gaunighkeitsgrad $d=2n+1$ hat, wenn für alle $q \in P_n$ $$\int_{-1} ^{1} \omega_{n+1}(x)q(x)dx = 0$$ gilt. Hier stünde dann im Integral $$\int_{a} ^{b} \alpha\omega_{n+1}(x)^2w(x)dx = 0$$. Kann man die Aussagen zusammenbringen oder ist das der Falsche Ansatz? Sorry für die blöden Fragen, Numerik ist für mich Neuland ....
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piquer
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| Beitrag No.7, eingetragen 2022-12-15
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Nein, $p$ ist ein beliebiges Polynom vom Grad höchstens $n$. Was du meinst, ist dass $\omega_{n+1}$ bis auf einen Vorfaktor $\alpha$ mit dem orthogonalen Polynom $q_{n+1}$ vom Grad $n+1$ übereinstimmt. Erinnere dich jetzt daran, jedes orthogonale Polynom vom Grad $n+1$ auf $P_n$ senkrecht steht. Wieso gilt diese Aussage?
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eisenstein01
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-15
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\quoteon(2022-12-15 13:26 - piquer in Beitrag No. 7)
Nein, $p$ ist ein beliebiges Polynom vom Grad höchstens $n$. Was du meinst, ist dass $\omega_{n+1}$ bis auf einen Vorfaktor $\alpha$ mit dem orthogonalen Polynom $q_{n+1}$ vom Grad $n+1$ übereinstimmt. Erinnere dich jetzt daran, jedes orthogonale Polynom vom Grad $n+1$ auf $P_n$ senkrecht steht. Wieso gilt diese Aussage?
\quoteoff
Ich weiß es nicht... Aber damit gilt zumindest, dass $\omega_{n+1}p(x)$ orthogal ist zu $w(x)$, oder?
Ich komme nicht drauf, was zu machen ist, weder für die Hin- noch für die Rückrichtung, so schwer ist die Aufgabe doch bestimmt nicht? 😂
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piquer
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| Beitrag No.9, eingetragen 2022-12-16
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Das ist nicht schwer. Erinnere dich an die Fakten über orthogonale Polynome: Es bezeichne $\langle \cdot, \cdot \rangle_w$ das mit $w$ gewichtete $L^2$-Skalarprodukt. Die orthogonalen Polynome $(q_j)_j$ erfüllen:
* Grad: $q_j$ hat Grad $j$.
* Orthogonalität:
$$
\langle q_i, q_j \rangle_w = 0, \quad i \neq j.
$$
Überlege dir (das steht sicherlich auch im Srkipt):
1. $(q_j)_{j=0}^n$ bilden eine Basis von $P_n$.
2. Daraus folgt: das Polynom $q_{n+1}$ steht senkrecht auf dem Raum $P_n$.
Außerdem weiß man, dass $q_{n+1}$ nur einfache Nullstellen hat. Wenn also $\omega_{n +1 }$ die gleichen Nullstellen wie $q_{n+1}$ hat, so muss schon $\omega_{n+1} = \alpha q_{n+1}$ für ein Skalar $\alpha$ sein. Mit 2. folgt dann aber schon, dass ...
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