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  Stetigkeit nachweisen |
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mhipp
Aktiv 
Dabei seit: 30.08.2018
Mitteilungen: 460
 |  Themenstart: 2022-12-15
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Hallo zusammen,
ich versuche gerade, die Stetigkeit der Funktion \(f(x)=\sqrt{1-x^3}\) auf [0;1] nachzuweisen, komme aber nicht weiter.
Ich habe das Epsilon-Delta-Kriterium verstanden (die Aufgabe fordert, dass ich dieses verwende) und mit den "Standardfunktionen" bekomme ich es auch hin, aber in diesem Fall bekomme ich meinen Term nicht so umgeformt, dass am Ende "kleiner Epsilon" dasteht.
Hier mal ein Ansatz:
Sei \(|x-x_0|<\delta.\) Dann gilt:
\(|f(x)-f(x_0)|=|\frac{x_0^3-x^3}{\sqrt{1-x^3}+\sqrt{1-x_0^3}}|\\
=|\frac{(x_0-x)(x_0^2+x_0x+x^2)}{\sqrt{1-x^3}+\sqrt{1-x_0^3}}|\\
=|\frac{x_0^2+x_0x+x^2}{\sqrt{1-x^3}+\sqrt{1-x_0^3}}||x-x_0|\)
So kommt nun schon immerhin ein \(|x-x_0|\) vor, aber ich weiß nicht, wie ich weitermachen soll.
Herzlichen Dank schonmal und liebe Grüße!
Max
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Kampfpudel
Senior 
Dabei seit: 02.08.2013
Mitteilungen: 2000
| Beitrag No.1, eingetragen 2022-12-16
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Hey mhipp,
das sieht bis hierhin schon gut aus. Ich würde nun die Fälle \(x_0 \in [0,1)\) und \(x_0=1\) unterscheiden. Im ersten Fall kannst du nämlich den Term im Betrag schön nach oben abschätzen
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phrygian
Senior 
Dabei seit: 07.03.2006
Mitteilungen: 421
Wohnort: Brunnen, Schweiz
| Beitrag No.2, eingetragen 2022-12-16
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Hallo Max
Die Definition der Stetigkeit verlangt ja, dass zu jedem $\epsilon$ ein $\delta$ existiert mit $\lvert x-x_0 \rvert < \delta \Rightarrow \lvert f(x) - f(x_0) \rvert < \epsilon$.
Du gibst dir also ein beliebiges $\epsilon > 0$ vor und definierst das $\delta$ in Abhängigkeit von $\epsilon$ so, dass du $|\frac{x_0^2+x_0x+x^2}{\sqrt{1-x^3}+\sqrt{1-x_0^3}}||x-x_0| < \epsilon$ erhältst.
Nutze dazu, dass $\lvert \frac{x_0^2+x_0x+x^2}{\sqrt{1-x^3}+\sqrt{1-x_0^3}}\rvert |x-x_0| < |\frac{x_0^2+x_0x+x^2}{\sqrt{1-x^3}+\sqrt{1-x_0^3}}| \delta$.
Natürlich musst du noch beachten, dass du nicht durch 0 dividierst.
Hilft dir das weiter?
Gruß
phrygian
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
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mhipp
Aktiv 
Dabei seit: 30.08.2018
Mitteilungen: 460
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-16
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Guten Morgen!
Leider komme ich nicht darauf, wie ich das geschickt abschätzen kann. Für x<1 kann ich die zweite Wurzel im Nenner weglassen, außerdem kann ich den Zähler zu einem Binom ergänzen. Ich weiß aber nicht, ob bzw. was mir das bringt...
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mhipp
Aktiv
Dabei seit: 30.08.2018
Mitteilungen: 460
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-16
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oh, ich glaub ich hab's, gebt mir noch ein bisschen Zeit...
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Kampfpudel
Senior
Dabei seit: 02.08.2013
Mitteilungen: 2000
| Beitrag No.5, eingetragen 2022-12-16
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\quoteon(2022-12-16 10:28 - mhipp in Beitrag No. 3)
Guten Morgen!
Leider komme ich nicht darauf, wie ich das geschickt abschätzen kann. Für x<1 kann ich die zweite Wurzel im Nenner weglassen, außerdem kann ich den Zähler zu einem Binom ergänzen. Ich weiß aber nicht, ob bzw. was mir das bringt...
\quoteoff
Versuch lieber \(x_0<1\) zu fixieren und die erste Wurzel im Nenner wegzulassen.
Für den Zähler: schau dir mal das Intervall an und versuche damit zu arbeiten
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