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  Ungleichung der Summe und Summe der Quadrate |
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Yadiel
Neu 
Dabei seit: 20.12.2022
Mitteilungen: 3
 |  Themenstart: 2022-12-20
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Hallo!
Ich habe folgendes Problem und bin mir unsicher wie ich danach recherchieren soll bzw. ob das ein gängiges mathematisches Problem ist. Ich arbeite als WiMi in der Ökonomie und würde mich als mathematischen Laien bezeichnen. Ich würde mich sehr über eure Hilfe freuen!
Es geht um folgendes. Ich weiß für meine Variablen lediglich
sum(x_i,i=1,n) > sum(y_i,i=1,n) wobei alle x_i, y_i > 0.
Meine Frage ist dann: Unter welcher Bedingung gilt auch:
sum(x_i^2,i=1,n) > sum((y_i)^2,i=1,n)
Leider gilt in meinem Fall nicht die triviale Bedingung \(x_i>y_i\) für alle \(i=1,...n\).
Ich denke das ganze hat irgendetwas mit der Varianz zwischen jeweils den \(x_i\) und \(y_i\) zutun, aber es fällt mir schwer eine solche Bedingung abzuleiten. Könnt ihr mir da weiterhelfen?
Viele Grüße und riesen Dank für jede Antwort!
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 Profil
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nzimme10
Senior 
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2062
Wohnort: Köln
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-12-20
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
Hallo,
für $x=(x_1,\dots,x_n)\in \mathbb R^n$ bezeichnet
$$
\lVert x\rVert_1:=\sum_{j=1}^n |x_j|
$$
die sog. Summennorm von $x$ und
$$
\lVert x\rVert_2:=\sqrt{\sum_{j=1}^n x_j^2}
$$
die sog. euklidische Norm von $x$. Mit diesen Bezeichnungen lautet deine Frage daher:
Seien $x=(x_1,\dots,x_n)\in \mathbb R^n$ und $y=(y_1,\dots,y_n)\in \mathbb R^n$ mit $x_j,y_j>0$ und $\lVert x\rVert_1>\lVert y\rVert_1$. Unter welchen Bedingungen gilt dann $\lVert x\rVert_2^2>\lVert y\rVert_2^2$?
Nun kann man sich überlegen, dass ganz allgemein
$$
\frac{1}{\sqrt n}\lVert x\rVert_1\leq \lVert x\rVert_2\leq \lVert x\rVert_1
$$
für alle $x\in \mathbb R^n$ gilt und dass diese Ungleichungen ohne weitere Einschränkungen bereits optimal sind. Somit haben wir in deinem Fall
$$
\lVert y\rVert_2\leq \lVert y\rVert_1<\lVert x\rVert_1\leq \sqrt n\cdot\lVert x\rVert_2
$$
und somit
$$
\lVert y\rVert_2^2\(\endgroup\)
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Kitaktus
Senior 
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 7086
Wohnort: Niedersachsen
| Beitrag No.2, eingetragen 2022-12-20
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Um es etwas einfacher zu formulieren:
Im Allgemeinen kann man nicht $\sum_{i=1}^n{x_i^2} > \sum_{i=1}^n{y_i^2}$ schließen.
Ein einfaches Beispiel wären $x_1=\dots=x_n=1$ und $y_1=n-1, y_2=\dots=y_n=1/n$
Wie nzimme10 ausführt, kann $\sum_{i=1}^n{y_i^2}$ im Verhältnis zu $\sum_{i=1}^n{x_i^2}$ aber nicht beliebig groß werden.
Da Du die Varianz der Größen erwähnst: Kennt man die Varianz der Werte $x_i$ und die Summe der Werte $x_i$, dann kann man daraus direkt die Summe der Quadrate der $x_i$ berechnen. Es gilt: $\sum_{i=1}^n{x_i^2} = (\sum_{i=1}^n{x_i})^2+n\cdot Var(X)$.
Es ergeben sich Folgerungen wie:
Wenn $x_i,y_i\geq 0$ für $i=1\dots n$ und $\sum_{i=1}^n{x_i} > \sum_{i=1}^n{y_i}$ und $Var(X)\geq Var(Y)$, dann ist auch $\sum_{i=1}^n{x_i^2} > \sum_{i=1}^n{y_i^2}$.
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Yadiel
Neu 
Dabei seit: 20.12.2022
Mitteilungen: 3
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-21
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Vielen Dank an euch beide! Das hat mir sehr geholfen.
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Yadiel
Neu
Dabei seit: 20.12.2022
Mitteilungen: 3
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-21
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Ich habe gerade herausgefunden, dass der Zusammenhang mit der Varianz aus dem Verschiebungssatz folgt. Allerdings scheint da ein kleiner Fehler passiert zu sein, es gilt denke ich @Kitaktus:
\sum((x_i)^2,i=1,n) = 1/n * (sum((x_i),i=1,n))^2 + n*Var(X).
Also ein 1/n mehr. Für die von Kitaktus gefolgerte Bedingung ändert das aber nichts. Also passt alles :).
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