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| Autor |
  ∑q^n divergent, für q≤-1 |
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hanna01
Aktiv 
Dabei seit: 17.11.2022
Mitteilungen: 30
 |  Themenstart: 2022-12-20
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Ich möchte zeigen, dass \(\sum_{n=0}^{\infty} q^n\) divergiert, wenn \(q \leq -1\).
Offensichtlich ist \(q^n\) keine Nullfolge, da sich die Glieder von der 0 wegbewegen, aber wie zeige ich das? Kann ich die beiden Teilfolgen \(a_{2n}\) und \(a_{2n-1}\) betrachten, die offensichtlich beide divergieren?
Erstere wächst streng monoton und letztere fällt streng monoton, wenn \(q \neq -1\). Im Fall n=-1 alterniert die Folge und konvergiert also auch nicht. Da diese beiden Teilfolgen alle Folgenglieder abdecken, hat \(q^n\) also keine Häufungspunkte (bzw. 2 im Falle q=-1) und kann somit nicht konvergieren und erst recht keine Nullfolge sein, sodass die Reihe divergiert. Darf man das so sagen und wenn nicht, wie muss ich dann da rangehen?
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Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10532
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-12-20
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
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\newcommand{\ec}{\end{cases}}
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\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
ich verstehe dein Problem eventuell nicht so ganz. Jedenfalls braucht man hier keine Aufteilung in Teilfolgen. Das Argument, dass \(q^n\) für \(q\le-1\) keine Nullfolge ist, ist hinreichend für die Divergenz der Reihe.
Wenn du das mit der Nullfolge wirklich zeigen bzw. begründen musst, dann kannst du genausogut \(|q^n|\) betrachten. Denn es gilt entweder \(q^n=|q^n|\) oder \(q^n=-|q^n|\)...
Gruß, Diophant
[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Folgen und Reihen' von Diophant]\(\endgroup\)
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hanna01
Aktiv
Dabei seit: 17.11.2022
Mitteilungen: 30
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-20
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Achso hm, also darf ich dann einfach sagen, \(|q^n| < |q^{n+1}|\) für alle n und weil diese Folge monoton steigt, ist \(q^n\) keine Nullfolge und \(\sum q^n\) somit divergent?
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10532
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.3, eingetragen 2022-12-20
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\quoteon(2022-12-20 14:34 - hanna01 in Beitrag No. 2)
Achso hm, also darf ich dann einfach sagen, \(|q^n| < |q^{n+1}|\) für alle n und weil diese Folge monoton steigt, ist \(q^n\) keine Nullfolge und \(\sum q^n\) somit divergent?
\quoteoff
fast*, denn das ist ein ziemlich einfacher Sachverhalt, den man in einem Analysis-1 Lehrwerk kurz nach Einführung der Anordnungsaxiome der reellen Zahlen finden sollte. Also: ganz am Anfang. 😉
* Da du \(q\le-1\) voraussetzt, musst du dann aber auch \(|q^n|\le|q^{n+1}|\) notieren.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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Kitaktus
Senior 
Dabei seit: 11.09.2008
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| Beitrag No.4, eingetragen 2022-12-20
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Eine gewisse Rolle spielt, was genau Du unter "divergiert" verstehst. Da gibt es ja verschiedene Kategorien (konvergent / beschränkt aber nicht konvergent / "konvergent" gegen $\pm\infty$ / alles andere) und was man davon als "divergent" bezeichnet ist nicht ganz einheitlich.
Dass die Reihe nicht konvergiert, sieht man schon daran, dass die Folge keine Nullfolge ist.
Dass $q^n$ für $q\leq -1$ keine Nullfolge ist, ist "offensichtlich". Wer dazu wirklich eine formale Begründung braucht:
Bei einer Nullfolge müsste es für alle $\varepsilon>0$ ein $n_0\in\IN$ geben, mit $|q^n-0|<\varepsilon$ für alle $n>n_0$.
Tatsächlich gilt aber mit $\varepsilon=1/2$: $|q^n-0|>\varepsilon$ für alle $n\in\IN$.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]
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hanna01
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-21
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Ok, dann ist das ja doch einfacher als gedacht. Tatsächlich steht die genannte Aufgabe in einem schon etwas fortgeschrittenen Kapitel (dort aber als erste Aufgabe), daher dachte ich, dass man da viel mehr machen müsste.
Unter Divergenz wird in dem Lehrbuch alles verstanden, was nicht gegen eine bestimmte Zahl konvergiert, also gegen (minus) unendlich oder mehrere Häufungspunkte.
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