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| Autor |
  Wurzel aus komplexen Zahlen |
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mhipp
Aktiv 
Dabei seit: 30.08.2018
Mitteilungen: 460
 |  Themenstart: 2022-12-21
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Guten Abend zusammen!
Gegeben seien zwei komplexe Zahlen:
\(a = e^{ix}, b = e^{i(x+2\pi)}\)
Da \(a=b\), sollte auch \(a^{1/4}=b^{1/4}\)
Aber offensichtlich ist i.A. \(e^{ix/4} \neq e^{i(x/4+2\pi/4)}\)
Wo liegt mein Fehler?
Ich habe das Gefühl, \((4)^2=(-4)^2 \implies ((4)^2)^{1/2}=4=-4=((-4)^2)^{1/2}\) ist ein ähnlicher Denkfehler, aber ich kann in der komplexen Variante nicht identifizieren, wo genau der Fehler passiert ist. Welche Regel habe ich konkret gebrochen?
Danke schonmal für eure Antworten und liebe Grüße!
Max :-)
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nzimme10
Senior 
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2062
Wohnort: Köln
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-12-21
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
Hallo,
für alle $x\in \mathbb R$ gilt $\sqrt{x^2}=|x|$. Somit ist auch $\sqrt{(-4)^2}=4$ und nicht $-4$.
Offenbar gilt daher das bekannte Potenzgesetz $(x^p)^q=x^{p\cdot q}$ nur eingeschränkt. Überdies muss man im Komplexen vorsichtig(er) sein und erstmal definieren, was man mit der Wurzel meint. Es gibt keine auf ganz $\mathbb C$ konsistent definierte Quadratwurzel.
LG Nico\(\endgroup\)
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ochen
Senior 
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 3563
Wohnort: der Nähe von Schwerin
| Beitrag No.2, eingetragen 2022-12-21
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Hallo,
du kannst die Potenzgesetze auf die Art nur für reelle positive Basen verwenden.
Man definiert die $k$-te Wurzel einer komplexen Zahl $z$ als die komplexe Zahl $x$ mit $x^k=z$ deren Argument (Winkel zur reellen Achse) am kleinsten ist. Sonst gäbe es $k$ solche $x$.
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
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mhipp
Aktiv 
Dabei seit: 30.08.2018
Mitteilungen: 460
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-22
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