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| Autor |
  Vertauschen von Summe (Reihe) und Lebesgue-Integral |
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JamesNguyen
Aktiv 
Dabei seit: 08.11.2020
Mitteilungen: 300
 |  Themenstart: 2022-12-21
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Hallo,
ich komme bei Folgendem nicht weiter.
Sei $f:\IR\rightarrow\IR$ eine Borel-messbare Funktion und
$x\mapsto e^{\lambda x} f(x)$ sei integrierbar für alle $\lambda\in\IR$.
Zeigen Sie, dass für alle $z\in\IC$
$$\int_{\IR} e^{zx}f(x)dx=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}\int_{\IR}x^nf(x)d\mu$$
gilt.
Ich bin mir nicht ganz sicher, aber die Aufgabenstellung ist vielleicht etwas inkonsistent.
Ich glaube, dass man ein beliebiges Maß $\mu$ nehmen soll, so dass man
bei beiden Integralen $d\mu$ schreiben kann. Im Zweifelsfall ist hier
vielleicht das Lebesgue-Maß mit $d\lambda$ gemeint.
Thematisch sind wir in der Vorlesung bei dem Satz der monotonen und majorisierten Konvergenz, damit bin ich aber bisher bei obiger Funktion nicht weiter gekommen.
Ich habe beispielsweise in der vorangehenden Aufgabe bereits gezeigt,
dass man bei einer Reihe eine Vertauschung von Summe und Integral vornehmen kann, wenn $\sum_{n=1}^{\infty}\int_{\Omega}|f_n|d\mu<\infty$ gilt.
Was ich aber auf obige Funktion nicht geschafft habe anzuwenden.
Hat jemand eine Idee wie man hier vorgehen kann?
Vielen Dank,
James
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nzimme10
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-12-21
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
Hallo,
ich denke, dass hier das Borel-Lebesgue-Maß gemeint ist. Betrachte eventuell
$$
f_n\colon \mathbb R\to \mathbb C, \ x\mapsto f(x)\cdot\sum_{k=0}^n \frac{z^k}{k!}x^k.
$$
Offenbar konvergiert $f_n$ punktweise gegen $\e^{zx}f(x)$ für $n\to \infty$. Weiter gilt
$$
|f_n(x)|=\left|f(x)\cdot\sum_{k=0}^n \frac{z^k}{k!}x^k\right|\leq |f(x)|\cdot \sum_{k=0}^n \frac{|zx|^k}{k!}\leq |f(x)|\cdot \exp(|zx|).
$$
Kommst du nun mit dem Satz von Lebesgue über majorisierte Konvergenz ans Ziel?
LG Nico\(\endgroup\)
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JamesNguyen
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-21
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Hallo,
vielen Dank für die Hilfe. Ich bin an sich zufrieden mit deinem Vorschlag.
Anmerkung 1. Du hast $f_n$ von $\IR$ nach $\IR$ definiert. Aber $z$ ist ja aus $\IC$. Hierzu habe ich bisher lediglich gelernt, dass komplexwertige Funktionen integrierbar sind wenn der Realteil $Re(f)$ und der Imaginärteil $Im(f)$ integrierbar sind.
Ich hatte gedacht, dass man hier deshalb $z$ bzw. die gesamte Funktion $f_n$ zerlegen muss.
Den Satz von der majorisierten Konvergenz haben wir auch nur für reellwertige Funktionen eingeführt.
Hier bin ich mir unsicher, ob das $z$ wirklich komplex sein soll oder ob es sich um einen Tippfehler handelt.
Anmerkung 2. Um den Satz anzuwenden, muss man sich noch überlegen, warum $f_n$ und die Majorante die du angegeben hast $|f(x)|\cdot exp(|zx|)$ integrierbar sind.
Hier habe ich mir überlegt. Das man über die Voraussetzung in der Aufgabe
bekommt.
$|f_n|$ bzw. $|f(x)|\cdot exp(|zx|) \leq |e^{\lambda x}f(x)|+|e^{-\lambda x}f(x)|$ für ausreichend großes $\lambda$.
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nzimme10
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| Beitrag No.3, eingetragen 2022-12-21
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
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\newcommand{\opn}{\operatorname}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
Hallo,
entschuldige, dass $z\in \mathbb C$ gelten soll, habe ich übersehen. Das ändert an der Argumentation jedoch nichts. Der Satz gilt unverändert auch für komplexwertige Funktionen. $f_n$ bildet in diesem Fall natürlich nach $\mathbb C$ ab. Der Betrag steht dann natürlich ebenfalls für den komplexen Betrag.
Dass die $f_n$ integrierbar sind muss man nicht fordern. Wenn alle $f_n$ messbar sind und $|f_n|$ durch eine integrierbare Funktion majorisiert wird, dann ergibt sich die Integrierbarkeit von $f_n$ daraus.
Die Integrierbarkeit der Majorante solltest du noch etwas genauer ausführen, meiner Meinung nach.
LG Nico\(\endgroup\)
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JamesNguyen
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-12-21
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Hallo,
Vielen Dank für die Infos zu Komplexwertigem!
Habe das jetzt fertig notiert.
$f_n$ ist messbar, da Produkt aus messbarem $f$ und stetiger (also messbarer) Partialsumme.
Ich habe sozusagen eine neue Majorante genommen indem ich weiter nach oben abschätze.
$|f_n(x)|\leq|f(x)|\cdot e^{|zx|}=|f(x)|\cdot e^{|z||x|}\leq|f(x)|\cdot (e^{|z|x}+e^{-|z|x})=|f(x)|\cdot e^{|z|x}+|f(x)|\cdot e^{-|z|x}=|f(x)\cdot e^{|z|x}|+|f(x)\cdot e^{-|z|x}|$
Nach Voraussetzung aus obiger Aufgabenstellung ist letztere Summe integrierbar ($\lambda=\pm|z|$).
James
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JamesNguyen hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
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