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  Kanonische Identifikation |
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bat20
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 |  Themenstart: 2023-01-07
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Es seien V ein Vektorraum über R, B = (b1, b2, b3) eine Basis von V und B∗ die dazu duale
Basis. Zeige, dass die folgende Linearformenfamilie (c∗1, c∗2, c∗3) eine Basis C∗ von V∗ bildet:
(α) 〈c∗1, B〉 = (0, 1, 1), 〈c∗2, B〉 = (1, 2, 1), 〈c∗3, B〉 = (1, 1, 1)
Na ja ich hab es einfach in eine Matrix überführt:
0 1 1
1 2 1
1 1 1
und dann eben die Inverse davon gebildt und dann kann ich aus den Zeilen meine Duale Basis ablesen.
Jetzt stellt sich aber folgende Aufgabe noch: Bestimme jene Basis C = (c1, c2, c3) von V, welche nach Identifikation von V und V∗∗ die Rolle der zu
C∗ dualen Basis C∗∗ übernimmt. Mit V** ist der Biduale Raum gemeint. Könnte mir hier jmd helfen? Ich weiß so ca,dass es was mit der kanonischen Identifizeriung zu tun hat, bin mir aber nicht sicher
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nzimme10
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-01-07
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
Man hat für jedes $v\in V$ die lineare Abbildung $\ell_v\colon V^*\to \mathbb R$ gegeben durch $\ell_v(\varphi)=\varphi(v)$. Dadurch erhält man (sofern $V$ endlich-dimensional ist) einen Isomorphismus
$$
V\to V^{**}, \ v\mapsto \ell_v.
$$
Das ist mit der kanonischen Identifikation gemeint. Man fasst einen Vektor $v\in V$ als lineare Abbildung $\ell_v\colon V^*\to \mathbb R$, also als ein bestimmtes Element von $V^{**}$ auf.
Nun hast du die Basis $C^*=(c_1^*,c_2^*,c_3^*)$ von $V^*$ und möchtest die dazu duale Basis $C^{**}=(c_1^{**},c_2^{**},c_3^{**})$ von $V^{**}=(V^*)^*$ finden. Diese ist definiert durch die Eigenschaft
$$
c_i^{**}(c_j^{*})=\delta_{ij}.
$$
Im Anschluss musst du dann noch die Vektoren $c_1,c_2,c_3\in V$ finden, die $\ell_{c_i}=c_i^{**}$ erfüllen. Diese liefern die gesuchte Basis.
LG Nico\(\endgroup\)
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bat20
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-07
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Ich tu mir schwer bei der dualen Basis mir vorzustellen wie diese aussieht. Das mit dem Kronecker Delta ist mir schon klar. Also ausgewerter ergibt es an einer bestimmten Stelle (i=j) 1, sonst nur null. Aber welche Werte trage ich da in meine duale Basis ein?
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nzimme10
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| Beitrag No.3, eingetragen 2023-01-07
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
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\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
Du musst dir eben auch mal etwas Zeit lassen und über das Gesagte nachdenken, dir Notizen machen und vor allem auch verstehen, um was es hier geht.
Wir suchen Vektoren $c_i$, die gemäß meinem ersten Beitrag
$$
\delta_{ij}=c_i^{**}(c_j^{*})=\ell_{c_i}(c_j^{*})=c_j^{*}(c_i)
$$
erfüllen.
Die Abbildungen $c_j^{*}$ sind dir (mehr oder weniger) explizit gegeben und es sollte daher auch nicht mehr weit sein, die Vektoren $c_i$ zu finden. Schreibt man
$$
c_i=\sum_{k=1}^3\lambda^{(i)}_k b_k,
$$
dann erhält man
$$
c_j^{*}(c_i)=\sum_{k=1}^3\lambda^{(i)}_k c_j^{*}(b_k).
$$
Die Werte $c_j^{*}(b_k)$ sind dir in der Aufgabenstellung gegeben. Dadurch erhältst du jeweils ein LGS für die Koeffizienten $\lambda^{(i)}_k$.
LG Nico\(\endgroup\)
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bat20
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-07
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@nzimme10 In meinem Skript steht halt auch nur die Definition und keine Erklärung anhand eines Beispiels (am besten mit "Zahlen", nur fürs Verständnis). Ich verstehe das Konzept, jedoch ist die Anwendung halt sehr schwierig. Die einzelnen c1, c2,c3 sind ja die Zeilen meiner invertierten Matrix, und die soll ich jetzt einsetzen in zbsp c1_1**(c1_1*) = 1, oder wie überprüfe ich generell ob δij=c∗∗i(c∗j)=ℓci(c∗j)=c∗j(ci) erfüllt ist? Und diese Abbildung l_v wertet also im Prinzip aus?
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nzimme10
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| Beitrag No.5, eingetragen 2023-01-07
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
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\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
\quoteon(2023-01-07 17:26 - nzimme10 in Beitrag No. 3)
Schreibt man
$$
c_i=\sum_{k=1}^3\lambda^{(i)}_k b_k,
$$
dann erhält man
$$
c_j^{*}(c_i)=\sum_{k=1}^3\lambda^{(i)}_k c_j^{*}(b_k).
$$
Die Werte $c_j^{*}(b_k)$ sind dir in der Aufgabenstellung gegeben. Dadurch erhältst du jeweils ein LGS für die Koeffizienten $\lambda^{(i)}_k$.
\quoteoff
Dieses LGS kannst du doch nun einfach aufstellen und lösen. Ich mache das mal exemplarisch für $c_1$. Wir haben die folgenden Gleichungen:
$$
\begin{align*}
1 &=c_1^{*}(c_1)=\lambda^{(1)}_1 c_1^{*}(b_1)+\lambda^{(1)}_2 c_1^{*}(b_2)+\lambda^{(1)}_3 c_1^{*}(b_3) \\
0 &=c_2^{*}(c_1)=\lambda^{(1)}_1 c_2^{*}(b_1)+\lambda^{(1)}_2 c_2^{*}(b_2)+\lambda^{(1)}_3 c_2^{*}(b_3) \\
0 &=c_3^{*}(c_1)=\lambda^{(1)}_1 c_3^{*}(b_1)+\lambda^{(1)}_2 c_3^{*}(b_2)+\lambda^{(1)}_3 c_3^{*}(b_3)
\end{align*}
$$
Nach Einsetzen der Werte wird das zu
$$
\begin{align*}
1 &=0\cdot\lambda^{(1)}_1+1\cdot\lambda^{(1)}_2+1\cdot\lambda^{(1)}_3 \\
0 &=1\cdot\lambda^{(1)}_1 +2\cdot\lambda^{(1)}_2 +1\cdot\lambda^{(1)}_3 \\
0 &=1\cdot\lambda^{(1)}_1+1\cdot\lambda^{(1)}_2+1\cdot\lambda^{(1)}_3
\end{align*}
$$
Insgesamt liefert uns das $\lambda^{(1)}_1=-1, \lambda^{(1)}_2=0$ und $\lambda^{(1)}_3=1$ und damit
$$
c_1=b_3-b_1.
$$
Wiederhole das für $c_2$ und $c_3$.
LG Nico\(\endgroup\)
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bat20
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-08
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Vielen Dank für diese ausführliche und verständliche Antwort. Und daraus diese duale Basis der dualen Basis herauszulesen, funktioniert dann wie genau? Sind das dann meine Skalare die ich eben rausbekomme?
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nzimme10
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| Beitrag No.7, eingetragen 2023-01-08
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
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\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
Wir suchen doch gerade $c_1,c_2,c_3$. Diese Vektoren sind die in der Aufgabenstellung gesuchte Basis von $V$. $c_1=b_3-b_1$ haben wir bereits gefunden.
Konkreter als $b_3-b_1$ können wir es nicht hinschreiben, weil wir nicht wissen, wie $V$ genau aussieht. Wir wissen lediglich, dass $(b_1,b_2,b_3)$ eine Basis von $V$ ist.
LG Nico\(\endgroup\)
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nzimme10
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| Beitrag No.8, eingetragen 2023-01-08
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
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\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
Der von mir bisher vorgeschlagene Weg war quasi die Methode "zu Fuß", ausgehend von den Definitionen alleine und weil ich es für dich für sinnvoll erachte, das einmal durchzurechnen.
Man kann das aber auch etwas eleganter bzw. schneller lösen. Dazu schreibt man wieder
$$
c_i=\sum_{k=1}^3 A_{ik}b_k.
$$
Sei dann $A=(A_{ik})_{1\leq i,k\leq 3}$. Da $B^*$ eine Basis von $V^*$ ist, können wir
$$
c_i^*=\sum_{k=1}^3 B_{ik}b^*_k
$$
für reelle Zahlen $B_{ik}$ schreiben und erhalten
$$
c_i^*(b_j)=\sum_{k=1}^3 B_{ik}b^*_k(b_j)=\sum_{k=1}^3 B_{ik}\delta_{kj}=B_{ij}.
$$
Deshalb ist
$$
\delta_{ij}=c_i^*(c_j)=\sum_{k=1}^3 A_{jk}c_i^*(b_k)=\sum_{k=1}^3 A_{jk}B_{ik}.
$$
Daran erkennt man, dass man die Koeffizienten $A_{ik}$ (vorher habe ich $\lambda^{(i)}_k$ geschrieben) an der inversen Matrix von $(B_{ik})_{1\leq i,k\leq 3}$ ablesen kann. Konkret ist die Matrix $A$ gleich der Transponierten der Inversen von $(B_{ik})_{1\leq i,k\leq 3}$. Die Matrix $ (B_{ik})_{1\leq i,k\leq 3}$ ist dabei gerade die Matrix, die du schon in deinem ersten Beitrag aufgestellt hast.
Für dein konkretes Beispiel ist also
$$
A=\left[\begin{pmatrix} 0&1&1 \\ 1&2&1 \\ 1&1&1\end{pmatrix}^{-1}\right]^T=\begin{pmatrix} -1&0&1 \\ 0&1&-1 \\ 1&-1&1\end{pmatrix}
$$
und daher
$$
\begin{align*}
c_1 &=(-1)\cdot b_1+0\cdot b_2+1\cdot b_3=b_3-b_1 \\
c_2 &=0\cdot b_1+1\cdot b_2+(-1)\cdot b_3=b_2-b_3 \\
c_3 &=1\cdot b_1+(-1)\cdot b_2+1\cdot b_3=b_1-b_2+b_3 \\
\end{align*}
$$
LG Nico\(\endgroup\)
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bat20
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Dabei seit: 15.12.2022
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-08
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@nzimme10 Ok habs hinbekommen. Vielen Dank für deine ausführlichen Antworten. Habs jetzt zumindest ein bisschen mehr verstanden
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