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| Autor |
 Duale Basis |
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wertz123
Aktiv 
Dabei seit: 15.11.2022
Mitteilungen: 26
 |  Themenstart: 2023-01-08
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Im Vektorraum \IR^\IN aller Folgen \IN->\IR ist die kanonische Basis ((e_n))n\el\ \IN mit e_n=((\delta_in))i\el\ \IN gegeben.
weiters ist gegeben eine Basis ((b_j))_j\el\ \IN mit b_0:=(1,0,0,0,..); b_1:=(-1,1,0,0,..); b_2:=(0,-1,1,0,..)...
Die Aufgabe ist folgende: Berechne \el\ \IR und gib an welche Linearformen b*j in der Hülle von (e*_n)_n\el\ \IN liegen. Als Hinweis ist gegeben =sum(a_i,i\el\ \IN)
Ich habe leider nicht wirklich einen Ansatz wie ich das Beispiel lösen könnte.
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nzimme10
Senior 
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2076
Wohnort: Köln
 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-01-08
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
Hallo,
bist du sicher, dass es um $\mathbb R^{\mathbb N}$ geht? Dieser Vektorraum besitzt sicherlich keine abzählbare (Hamel-) Basis.
Vermutlich geht es um den Vektorraum der reellen Folgen, die ab einem bestimmten Punkt konstant $0$ sind, oder?
Wenn dem so ist, dann sind alle vorkommenden Reihen in Wirklichkeit nur endliche Summen. Mit $b_j^*$ ist die lineare Abbildung gemeint, die durch
$$
b_j^*\left(\sum_{i=0}^\infty \lambda_i b_i\right)=\lambda_j
$$
definiert ist. $\langle b_j^*,(a_i)_{i\in \mathbb N}\rangle=b_j^*((a_i)_{i\in \mathbb N})$ zu berechnen, läuft also darauf hinaus, eine Darstellung
$$
(a_i)_{i\in \mathbb N}=\sum_{k=0}^\infty \lambda_kb_k
$$
zu finden. Dazu bemerke man zunächst, dass
$$
(a_i)_{i\in \mathbb N}=\sum_{k=0}^\infty a_ke_k
$$
gilt. Beachte nun, dass $b_k=e_k-e_{k-1}$ für $k\geq 1$ und $b_0=e_0$ gilt.
LG Nico\(\endgroup\)
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