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| Autor |
  Berechne eine Basis des Unterraums |
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bat20
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Mitteilungen: 55
 |  Themenstart: 2023-01-11
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Es seien Linearformen a∗i : R^6×1 → R, i ∈ {1, 2, 3}, gegeben durch
〈a∗1, (x1, x2, . . . , x6)^T〉 = x_1 + 2x_2 − x_4 + 3x_5 + 6x_6,
〈a∗2, (x1, x2, . . . , x6)^T〉 = 2x_1 + x_2 + 4x_3 + 3x_4 + x_6,
〈a∗3, (x1, x2, . . . , x6)^T〉 = x_2 − x_4 − x_5.
Berechne eine Basis des Unterraumes ker a∗1 ∩ ker a∗2 ∩ ker a∗3.
Muss ich hier nicht einfach alle Gleichungen =0 setzen und dementsprechend ausrechnen und den Schnitt bilden? Und wie bestimme ich dann die Basis davon?
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nzimme10
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-01-11
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
Ich kann dir nur raten, mal etwas strukturierter an die Sache heranzugehen und zunächst alle potenziell unklaren Begriffe zu klären.
Wir haben lineare Abbildungen $a_i^*\colon \mathbb R^6\to \mathbb R$, deren genaue Definition du im Themenstart aufgeschrieben hast.
Nun suchen wir eine Basis von $U:=\ker(a_1^*)\cap \ker(a_2^*)\cap \ker(a_3^*)$. Was heißt das? Das heißt, wir suchen eine linear unabhängige Teilmenge $B\subseteq U$ derart, dass jeder Vektor $u\in U$ eine Darstellung
$$
u=\sum_{b\in B} \lambda_bb
$$
mit reellen Zahlen $\lambda_b\in \mathbb R$ besitzt.
Dazu ist es sicherlich naheliegend, zunächst mal $U$ genauer zu bestimmen. Auch hier schaut man zunächst mal in die Definition. Was bedeutet $\ker$ einer linearen Abbildung? Per definitionem ist z.B.
$$
\ker(a_1^*)=\lbrace x\in \mathbb R^6\mid a_1^*(x)=0\rbrace
$$
und nach der Definition des Durchschnitts von Mengen daher
$$
U=\lbrace x\in \mathbb R^6\mid a_1^*(x)=a_2^*(x)=a_3^*(x)=0\rbrace.
$$
$U$ ist also die Lösungsmenge des homogenen linearen Gleichungssystems
$$
\begin{align*}
x_1+2x_2-x_4 +3x_5+6 x_6 &=0 \\
2x_1+x_2+4x_3+3x_4+x_6 &=0 \\
x_2-x_4-x_5&=0
\end{align*}
$$
Durch Lösen dieses LGS kannst du also zunächst mal $U$ genauer bestimmen. Mache das mal. Im Anschluss kann man sich dann ansehen, wie man eine Basis finden könnte.
LG Nico\(\endgroup\)
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bat20
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-11
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x_1=-x_4-5*x_5-6*x_6
x_2=x_4+x_5
x_3=(-1)/2*x_4+9/4*x_5+11/4*x_6
x_4=x_4
x_5=x_5
x_6=x_6
Das wäre mein Ergebnis
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nzimme10
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| Beitrag No.3, eingetragen 2023-01-11
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
Eine Gleichung wie $x_6=x_6$ ist völlig nichtssagend bzw. trivial. Sie ist ein Ausdruck davon, dass die Informationen nicht ausreichen, um eine eindeutige Lösung zu finden.
Für die Darstellung der Lösungsmenge ist es (wenigstens didaktisch) sinnvoll, wenn man $x_4,x_5$ und $x_6$ jeweils durch einen reellen Parameter $t,r$ und $s$ ersetzt.
Damit erhält man aus den übrigen Gleichungen $x_1=-t-5r-6s$, $x_2=t+r$ und $x_3=-\frac 12 t+\frac 94 r+\frac{11}4 s$.
Somit erhält man (übrigens auch von Hand und nicht nur mit einem Computer)
$$
U=\lbrace (-t-5r-6s,t+r,-\tfrac 12 t+\tfrac 94 r+\tfrac{11}4 s,t,r,s)^T\mid t,r,s\in \mathbb R\rbrace.
$$
Mit dieser Darstellung kann man nun arbeiten und sie etwas umschreiben (vielleicht ist dir das aus der Schule bekannt):
$$
\begin{pmatrix}
-t-5r-6s \\ t+r\\ -\tfrac 12 t+\tfrac 94 r+\tfrac{11}4 s \\ t \\ r \\ s
\end{pmatrix}=
t\cdot
\begin{pmatrix}
-1 \\ 1\\ -\tfrac 12 \\ 1 \\ 0 \\ 0
\end{pmatrix}
+ r\cdot
\begin{pmatrix}
-5 \\ 1\\ \tfrac 94 \\ 0 \\ 1 \\ 0
\end{pmatrix}
+ s\cdot
\begin{pmatrix}
-6 \\ 0\\ \tfrac{11}4 \\ 0 \\ 0 \\ 1
\end{pmatrix}
$$
Siehst du nun, wie du eine Basis von $U$ finden könntest?
LG Nico\(\endgroup\)
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bat20
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-11
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Basis des Kerns= {(-1,1,-1/2,1,0,0)^T, (-5,1,9/4,0,1,0)^T, (-6,0,11/4,0,0,1)^T} denke ich, wenn man sich an die an die Eigenschaft der Basis erinnert. Und ich hatte in der Schule keine Vektorrechnung, jedoch ist mir diese Parameterdarstellung dennoch bekannt. (:
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nzimme10
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| Beitrag No.5, eingetragen 2023-01-11
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
Wenn du dir noch unsicher bist, dann weise noch explizit nach, dass es sich um eine Basis handelt.
In der Schule taucht sowas i.d.R. im Rahmen der "Analytischen Geometrie" in der Oberstufe auf. Natürlich i.d.R. mit anderen Begrifflichkeiten und vorwiegend im $\mathbb R^2$ oder $\mathbb R^3$.
Ansonsten sind wir fertig.
LG Nico\(\endgroup\)
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bat20
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-11
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Na ja, lin. unabhängig sind alle 3 Vektoren. Kann man zbsp feststellen indem man den Rang ermittelt, indem man die Vektoren in eine Matrix überführt. Der Unterraum lässt sich durch diese 3 Vektoren aufspannen, also die Hülle= der hier definierte Unterraum. Also auch ein Erzeugendensystem.
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nzimme10
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| Beitrag No.7, eingetragen 2023-01-11
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Gut.
Für deine (mathematische) Zukunft mag ich dir noch folgendes raten:
1. Wenn du eine Aufgabe / ein Problem vor dir hast, dann verstehe zunächst genau die Fragestellung bzw. die Problemstellung, bevor du dir Gedanken um einen Lösungsweg machst.
2. Zu 1. gehört auch, dass man sich alle evtl. unklaren Begriffe klarmacht. D.h. sich an die präzise Definition erinnert oder sie nochmal nachliest und versteht.
3. Dann kann man sich Gedanken zu einem Lösungsweg machen. Wenn du eine Idee hast (wie es hier der Fall war), dann verfolge diese Idee! Du wirst ja feststellen, ob du mit deiner Idee zum Ziel kommst oder nicht.
4. Wenn es dabei dann immer noch Probleme gibt, oder etwas unklar ist, dann kann man an dieser Stelle natürlich (z.B. hier) nachfragen oder nach Hilfestellung bitten. Das sollte aber nicht der "erste Reflex" sein.
So hast du ganz persönlich am meisten von der Arbeit.
LG Nico
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