| Autor |
  Beweis einer elementaren Ungleichung |
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Julian5266
Aktiv 
Dabei seit: 08.06.2022
Mitteilungen: 31
 |  Themenstart: 2023-01-12
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Hallo Zusammen :)
Im schreiben meiner Bachelorarbeit bin ich auf eine (angeblich leicht zu zeigende) Ungleichung gestoßen.
Für alle natürlichen Zahlen $n \in \mathbb{N}$ gilt
$$\left( \frac{n}{e} \right)^{n-1} \leq (n-1)!$$
wobei $e$ die eulersche Zahl bezeichnet.
Das ist wahrscheinlich recht einfach mit Induktion zu zeigen, aber irgendwie steh ich auf dem Schlauch. Vielleicht kann mir ja jemand weiterhelfen. Würde mich sehr freuen :)
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Kuestenkind
Senior 
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2566
| Beitrag No.1, eingetragen 2023-01-12
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Huhu Julian5266,
\quoteon(2023-01-12 17:50 - Julian5266 im Themenstart)
Das ist wahrscheinlich recht einfach mit Induktion zu zeigen, aber irgendwie steh ich auf dem Schlauch. Vielleicht kann mir ja jemand weiterhelfen.
\quoteoff
klar. Wie weit bist du denn gekommen bei deiner Induktion?
Gruß,
Küstenkind
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Qing
Aktiv 
Dabei seit: 11.03.2022
Mitteilungen: 307
| Beitrag No.2, eingetragen 2023-01-12
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Hallo,
der induktive Beweis gelingt ohne Probleme, und benötigt keine Idee.
Was hast du probiert?
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
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Julian5266
Aktiv
Dabei seit: 08.06.2022
Mitteilungen: 31
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-12
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\quoteon(2023-01-12 18:52 - Qing in Beitrag No. 2)
Hallo,
der induktive Beweis gelingt ohne Probleme, und benötigt keine Idee.
Was hast du probiert?
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
\quoteoff
Tatsächlich ganz am Anfang. Deswegen bin ich ins Forum gekommen.
Also der Induktionsanfang für $n=1$ ist klar. Angenommen die Aussage gilt für $n > 1$ und ich möchte sie für $n+1$ zeigen. Dann gilt:
$$\left( \frac{n+1}{e} \right)^{n} = \left( \frac{n+1}{e} \right) \left( \frac{n+1}{e} \right)^{n-1}$$
jetzt möchte ich den Summanden $\frac{1}{e}$ aus dem Zweiten Faktor abspalten damit ich die Indunktionsvoraussetzung anwenden kann. Aber irgendwie steh ich auf dem Schlauch.
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10669
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.4, eingetragen 2023-01-12
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
überlege dir besser eine Faktorisierung von \(\left(\frac{n+1}{e}\right)^n\) dergestalt, dass du wieder einen Faktor \(\left(\frac{n}{e}\right)^{n-1}\) bekommst. Denn auf diesen kann man dann die Induktionsvoraussetzung anwenden.
Dazu benötigt man zweckmäßigerweise zwei weitere Faktoren, von denen einer ein "alter Bekannter" ist, den man nach oben abschätzen kann, und dann steht nach einmal Kürzen alles da...
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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Julian5266
Aktiv
Dabei seit: 08.06.2022
Mitteilungen: 31
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-12
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\quoteon(2023-01-12 19:58 - Diophant in Beitrag No. 4)
Hallo,
überlege dir besser eine Faktorisierung von \(\left(\frac{n+1}{e}\right)^n\) dergestalt, dass du wieder einen Faktor \(\left(\frac{n}{e}\right)^{n-1}\) bekommst. Denn auf diesen kann man dann die Induktionsvoraussetzung anwenden.
Dazu benötigt man zweckmäßigerweise zwei weitere Faktoren, von denen einer ein "alter Bekannter" ist, den man nach oben abschätzen kann, und dann steht nach einmal Kürzen alles da...
Gruß, Diophant
\quoteoff
Das man einfach nur geschickt faktorisieren muss hab ich mir schon gedacht aber irgendwie bin ich immer noch ratlos. Nutzt man hier die Tatsache das $\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n < e$ für alle natürlichen $n \in \mathbb{N}$ gilt ?
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10669
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.6, eingetragen 2023-01-12
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
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\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
\quoteon(2023-01-12 20:23 - Julian5266 in Beitrag No. 5)
Das man einfach nur geschickt faktorisieren muss hab ich mir schon gedacht aber irgendwie bin ich immer noch ratlos. Nutzt man hier die Tatsache das $\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n < e$ für alle natürlichen $n \in \mathbb{N}$ gilt ?
\quoteoff
Genau die. Man hat ja (für \(n>0\)):
\[\left(\frac{n+1}{e}\right)^n=\left(\frac{n}{e}\cdot\frac{n+1}{n}\right)^n=\left(\frac{n}{e}\right)^{n-1}\cdot\frac{n}{e}\cdot\underbrace{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}_{\(\endgroup\)
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Julian5266
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-12
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\quoteon(2023-01-12 20:28 - Diophant in Beitrag No. 6)
\quoteon(2023-01-12 20:23 - Julian5266 in Beitrag No. 5)
Das man einfach nur geschickt faktorisieren muss hab ich mir schon gedacht aber irgendwie bin ich immer noch ratlos. Nutzt man hier die Tatsache das $\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n < e$ für alle natürlichen $n \in \mathbb{N}$ gilt ?
\quoteoff
Genau die. Man hat ja (für \(n>0\)):
\[\left(\frac{n+1}{e}\right)^n=\left(\frac{n}{e}\cdot\frac{n+1}{n}\right)^n=\left(\frac{n}{e}\right)^{n-1}\cdot\frac{n}{e}\cdot\underbrace{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}_{
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