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  Erwartungstreuer Schätzer für binomialverteilte ZVn |
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WagW
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 |  Themenstart: 2023-01-15
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Hallo,
Seien $X_1, X_2\dots X_n$ i.i.d binomialverteilte ZVn mit WSK $p$ und Länge $m$. Hierbei sei $P(X_i=k)$, die WSK von $k$ Erfolgen, durch $b(k;m,p)$ definiert. Beide Parameter $p$ und $m$ sind unbekannt. Wir wissen, dass $T_n(X):=\max(X_1,X_2,...,X_n)$ ein konsistenter Schätzer für $m$ ist. Ist $T_n(X)$ auch erwartungstreu?
Ich habe da mal etwas herumprobiert und mir folgenden Ansatz überlegt:
Der Einfachheit halber nehmen wir $n=3$ and $T_3(X)=\max(X_1,X_2,X_3)=k$ an. Mit dem Einschluss/Ausschlussprinzip erhalten wir
$
\begin{align*}
&P(T_n(X)=k)=P(X_1=k\cup X_2=k\cup X_3=k)\\
&=P(X_1=k)+P(X_2=k)+P(X_3=k)\\
&-P(X_1=k\cap X_2=k)-P(X_1=k\cap X_3=k)-P(X_2=k\cap X_3=k)\\
&+P(X_1=k\cap X_2=k\cap X_3=k)\\
&=3\cdot b(k;m,p)-3\cdot b(k;m,p)^2+b(k;m,p)^3.
\end{align*}
$
Damit könnte der Erwartungswert $\mathbb{E}(T_n(X))$ durch
$
\begin{align*}
\mathbb{E}(T_n(X))=\sum\limits_{m=k}^{\infty}3m\cdot b(k;m,p)-3m\cdot b(k;m,p)^2+m b(k;m,p)^3
\end{align*}
$
ermittelt werden.
Jetzt stellt sich mir nur die Frage wie ich diese Reihe weiter behandle/untersuche? Vielleicht existiert der Erwartungswert/ die Reihe ja auch gar nicht. Oder bin ich hier auf dem Holzweg und es gibt eine einfachere Möglichkeit?
Viele Grüße
WagW
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StrgAltEntf
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-01-15
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Hallo WagW,
die Summe muss doch k (und nicht m) der Laufindex sein.
Mach es dir doch noch einfacher und wähle n = 1. Dann sollte schnell klar sein, dass der Schätzer nicht erwartungstreu ist.
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WagW
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-15
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Hallo StrgAltEntf,
ah ok blöder Denkfehler von mir, meinst Du das dann so:
$
\begin{align*}
&\mathbb{E}(T_1(X))=\sum\limits_{k=0}^{m}k\cdot b(k;m,p)=m\cdot p\cdot \sum\limits_{k=1}^{m} p^{k-1}(1-p)^{m-1-(k-1)}\frac{(m-1)!}{(m-1-(k-1))!(k-1)!} \\
&= m\cdot p\cdot \sum\limits_{k=1}^{m} p^{k-1}(1-p)^{m-1-(k-1)}\frac{(m-1)!}{(m-k))!(k-1)!} = m\cdot p\cdot \sum\limits_{k=1}^{m}b(k-1,m-1,p)\\
&= m\cdot p\cdot \sum\limits_{k=0}^{m-1}b(k,m-1,p)=m\cdot p\cdot 1.
\end{align*}$
Für $\lim\limits_{m\to\infty}$ sieht man dann, dass die Reihe nicht existiert bzw. gegen $+\infty$ geht. Aber wie verallgemeinere ich das jetzt?
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StrgAltEntf
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| Beitrag No.3, eingetragen 2023-01-15
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Wieso soll m gegen unendlich gehen? m ist fest.
Da \(E(T_1(X_1))=E(X_1)=mp\neq m\), ist der Schätzer für n = 1 nicht erwartungstreu.
Intuitiv gilt \(E(T_n(X_1,...,X_n))\to m\) für \(n\to\infty\).
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WagW
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-15
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O.k. stimmt $m$ muss natürlich endlich sein. Aber gibt es nicht irgendeinen Umformungstrick? Das wird doch ziemlich hässlich wenn ich jetzt für ein $n$ die Einschluss-/Ausschlussformel anwende und dann diese Reihe untersuchen möchte!?
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StrgAltEntf
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| Beitrag No.5, eingetragen 2023-01-16
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Versuch mal, die W'keit zu berechnen, dass X1, ..., Xn alle kleiner m sind. Das Gegenereignis dazu ist, dass das Maximum von X1, ..., Xn gleich m ist. Zeige, dass die W'keit hierfür gegen 1 geht.
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luis52
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 | Beitrag No.6, eingetragen 2023-01-16
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%************************** Abkuerzungen ************************
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\newcommand{\eps}{\epsilon}
\newcommand{\veps}{\varepsilon}
\)
\quoteon(2023-01-15 22:50 - WagW in Beitrag No. 4)
O.k. stimmt $m$ muss natürlich endlich sein. Aber gibt es nicht irgendeinen Umformungstrick? Das wird doch ziemlich hässlich wenn ich jetzt für ein $n$ die Einschluss-/Ausschlussformel anwende und dann diese Reihe untersuchen möchte!?
\quoteoff
Gruebel, gruebel? Ich bin verwirrt. Ich zitiere mal aus dem Wurzelbeitrag:
Wir wissen, dass $T_n(X):=\max(X_1,X_2,\ldots,X_n)$ ein konsistenter Schätzer für $m$ ist. Ist $T_n(X)$ auch erwartungstreu?
Ich ergaenze: Ist $T_n(X)$ auch erwartungstreu fuer alle $n=1,2,3,\ldots$?
StrgEntf hat in #3 bereits gezeigt, dass $T_1$ nicht erwartungstreu ist. Also lautet die Antwort: Nein, $T_n$ ist nicht e.t. Ende der Durchsage.
Wieso willst du noch die Konsistenz von $T_1,T_2,T_3,\ldots$ nachweisen? Das wird in der Aufgabe anscheinend als gegeben vorausgesetzt, und diese Information sehe ich somit als schmueckendes Beiwerk an. Bedenke, dass es sich um eine Klausuraufgabe handelt und man kaum zeitraubende Umformungstricks von euch verlangen wird.
Wenn du allerdings die Konsistenz rein Interesse halber nachweisen moechtest, so finde ich das sehr loeblich, lenkt aber bei der Nachbearbeitung der Altklausur nur ab.
vg Luis
\(\endgroup\)
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WagW
Aktiv
Dabei seit: 15.02.2018
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-16
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Hallo Luis,
\quoteon
[...]
Wieso willst du noch die Konsistenz von $T_1,T_2,T_3,\ldots$ nachweisen? [...]
\quoteoff
Wie kommst Du darauf, dass ich die Konsistenz nachweisen möchte? Das ist doch, wie von Dir erwähnt, bereits gegeben. Es geht mir nur um die Erwartungstreue.
\quoteon
[...]
StrgEntf hat in #3 bereits gezeigt, dass $T_1$ nicht erwartungstreu ist. Also lautet die Antwort: Nein, $T_n$ ist nicht e.t. Ende der Durchsage.
[...]
\quoteoff
Wieso sollte aus der Tatsache, dass $T_1(X)$ nicht erwartungstreu ist sofort folgen, dass auch $T_n(X)$ nicht erwartungstreu ist? Die Fragestellung lautet ja nicht, $T_n(X)$ ist für alle $n\in\mathbb{N}$ erwartungstreu; was man dann sofort mit dem Gegenbeispiel $T_1(X)$ widerlegen kann. Es ist einfach irgendein $n\in\mathbb{N}$.
viele Grüße
WagW
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WagW
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-16
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Hallo StrgAltEntf,
\quoteon(2023-01-16 07:47 - StrgAltEntf in Beitrag No. 5)
Versuch mal, die W'keit zu berechnen, dass X1, ..., Xn alle kleiner m sind. Das Gegenereignis dazu ist, dass das Maximum von X1, ..., Xn gleich m ist. Zeige, dass die W'keit hierfür gegen 1 geht.
\quoteoff
Wie genau soll das helfen, ich dachte ich müsste den Ausdruck
$\mathbb{E}(T_n(X))=\sum\limits_{k=0}^mkP(T_n=k)$ irgendwie so bearbeiten, dass ich am Ende sehe, dass $\mathbb{E}(T_n(X))\neq m$ gilt.
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zippy
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Dabei seit: 24.10.2018
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 | Beitrag No.9, eingetragen 2023-01-16
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\quoteon(2023-01-16 15:18 - WagW in Beitrag No. 8)
ich dachte ich müsste den Ausdruck
$\mathbb{E}(T_n(X))=\sum\limits_{k=0}^mkP(T_n=k)$ irgendwie so bearbeiten, dass ich am Ende sehe, dass $\mathbb{E}(T_n(X))\neq m$ gilt.
\quoteoff
Wegen $T_n(X)\le m$ kann nur dann $\mathbb{E}\bigl(T_n(X)\bigr)=m$ sein, wenn $\mathbb{P}\bigl(T_n(X)
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WagW
Aktiv
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| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-16
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Kann man nicht einfach Folgendes machen
$\mathbb{E}(T_n(X))=\sum\limits_{k=1}^{m}kP(T_n(X)=k)<\sum\limits_{k=1}^{m}mP(T_n(X)=k)=m\cdot 1=m$?
Die Ungleichung ist ja strikt für ein beliebiges aber fixes $n$. Damit sieht man dann, dass $\mathbb{E}(T_n(X))\neq m$.
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zippy
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| Beitrag No.11, eingetragen 2023-01-16
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\quoteon(2023-01-16 16:56 - WagW in Beitrag No. 10)
Kann man nicht einfach Folgendes machen
\quoteoff
Ja, das ist im Wesentlichen dasselbe Argument.
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luis52
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Dabei seit: 24.12.2018
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| Beitrag No.12, eingetragen 2023-01-16
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\newcommand{\eps}{\epsilon}
\newcommand{\veps}{\varepsilon}
\)
\quoteon(2023-01-16 16:56 - WagW in Beitrag No. 10)
Kann man nicht einfach Folgendes machen
$\mathbb{E}(T_n(X))=\sum\limits_{k=1}^{m}kP(T_n(X)=k)<\sum\limits_{k=1}^{m}mP(T_n(X)=k)=m\cdot 1=m$?
Die Ungleichung ist ja strikt für ein beliebiges aber fixes $n$.
\quoteoff
Hm, waere ich Pruefer, so wuerde ich was abziehen. Zum einen beginnt die Summe bei $k=0$, zum anderen, wieso kann $T_n(X)$ nicht eine Einpunktverteilung aufweisen? M.a.W. das Zippysche Argument muss fuer meinen Geschmack etwas expliziter gemacht werden.
vg Luis
\(\endgroup\)
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WagW
Aktiv
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Mitteilungen: 454
| Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-16
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Hallo Luis,
ja stimmt ich glaube auch, dass das Abzug gäbe. Ich sollte schon erwähnen, dass ich sehe, dass die Summe bei $k=0$ startet aber der erste Summand $0$ ist.
Wenn man nun die Fälle $p=0$ und $p=1$ mit hinzuzieht, was ich vergessen habe, (das meinst Du doch wahrscheinlich mit Einpunktverteilung?), dann gilt im Fall $0\leq p<1$ weiterhin:
$$
\mathbb{E}(T_n(X))=\sum\limits_{k=0}^{m}kP(T_n(X)=k)<\sum\limits_{k=0}^{m}mP(T_n(X)=k)=m\cdot 1=m
$$
aber im Fall $p=1$
$$
\mathbb{E}(T_n(X))=\sum\limits_{k=0}^{m}kP(T_n(X)=k)=m
$$
hätten wir Erwartungstreue.
viele Grüße
WagW
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luis52
Senior
Dabei seit: 24.12.2018
Mitteilungen: 915
| Beitrag No.14, eingetragen 2023-01-16
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\newcommand{\eps}{\epsilon}
\newcommand{\veps}{\varepsilon}
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Jetzt passt's.
vg Luis
P.S. Auf die Gefahr hin, rechthaberisch zu erscheinen, so moechte ich doch nochmal etwas zur Aufgabenstellung sagen. Wenn von einem Schaetzer $T_n(X)$ die Rede ist, so meint man in der Statistik i.Allg. das Verfahren zur Schaetzung eines Parameters. Man fragt also abstrakt, ob beispielsweise das Verfahren grundsaetzlich e.t. ist, d.h. ob die Eigenschaft stets vorhanden ist, unabhaengig vom Stichprobenumfang $n$. Wegen $\operatorname{E}[T_1(X)]\ne1$ fuer $p=1/2$ ist das Verfahren nicht e.t. fuer $p$, kurz $T_n(X)$ ist nicht e.t.
\(\endgroup\)
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WagW
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Dabei seit: 15.02.2018
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|  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-16
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Hallo Luis,
Danke nochmal das war mir tatsächlich noch nicht so 100% klar, dass man zwischen dem konkreten Wert, den man auf Basis von konkreten Beobachtungen ermittelt und dem Verfahren bzw. der Funktion, die man sich möglichst schlau ausdenkt, unterscheiden muss.
viele Grüße
WagW
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WagW hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
WagW hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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