| Autor |
 Immer verschwindende Ableitung |
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LaserHeel
Junior 
Dabei seit: 25.05.2021
Mitteilungen: 15
 |  Themenstart: 2023-01-16
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Hallo!
Gegeben sei f(x, y) = sin(x) + sin(y) + sin(x + y).
Gesucht sind die kritischen Punkte.
Der einzige kritische Punkt im Intervall 0 bis pi ist x = pi, y = pi.
Nun meine Frage: Da in dem Punkt jede Ableitung bis ins unendliche verschwindet, welcher Punkt ist das dann? Ist das trotzdem ein Sattelpunkt?
Danke im Vorhinein
LaserHeel
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nzimme10
Senior 
Dabei seit: 01.11.2020
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-01-16
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
Hallo,
wie sieht denn die Hesse-Matrix von $f$ im betrachteten Punkt aus? Hat sie eine bestimmte Form der Definitheit?
LG Nico\(\endgroup\)
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LaserHeel
Junior
Dabei seit: 25.05.2021
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-16
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Die Einträge der Hessematrix sind in diesem Punkt alle jeweils 0...also auch die Determinante.
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nzimme10
Senior
Dabei seit: 01.11.2020
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| Beitrag No.3, eingetragen 2023-01-16
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| \(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
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\newcommand{\opn}{\operatorname}
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\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
Somit ist die Hesse-Matrix von $f$ in $(\pi,\pi)$ indefinit und daher $(\pi,\pi)$ ein Sattelpunkt (ein kritischer Punkt, in dem kein lokales Extremum vorliegt).
Da ist mir eine Verwechslung passiert. Die Hesse-Matrix ist gar nicht indefinit. Siehe #6.
LG Nico\(\endgroup\)
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LaserHeel
Junior
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-16
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Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten |
zippy
Senior
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 | Beitrag No.5, eingetragen 2023-01-16
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\quoteon(2023-01-16 18:33 - LaserHeel im Themenstart)
Der einzige kritische Punkt im Intervall 0 bis pi ist x = pi, y = pi.
\quoteoff
Was ist mit $x=y=\dfrac\pi3$ ?
\quoteon(2023-01-16 19:01 - nzimme10 in Beitrag No. 3)
Somit ist die Hesse-Matrix von $f$ in $(\pi,\pi)$ indefinit und daher $(\pi,\pi)$ ein Sattelpunkt (ein kritischer Punkt, in dem kein lokales Extremum vorliegt).
\quoteoff
Das "daher" passt nicht. Daraus, dass die Hesse-Matrix indefinit ist, folgt noch nicht, dass ein stationärer Punkt ein Sattelpunkt ist.
--zippy
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nzimme10
Senior 
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Mitteilungen: 2227
Wohnort: Köln
| Beitrag No.6, eingetragen 2023-01-16
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
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\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
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\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
@zippy: Dann verwenden wir wohl eine andere Definition von Sattelpunkt, oder?
Ein Sattelpunkt heißt für mich: Kritischer Punkt, in dem kein lokales Extremum vorliegt. Wenn $f$ zweimal stetig differenzierbar und die Hesse-Matrix in einem kritischen Punkt indefinit ist, dann folgt daraus, dass $f$ in diesem Punkt kein lokales Extremum besitzt.
Aber natürlich habe ich einen Denkfehler gemacht: Die Hesse-Matrix ist ja gar nicht indefinit, sondern (positiv oder negativ) semidefinit. Danke also, dass du aufgepasst hast.
LG Nico\(\endgroup\)
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zippy
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| Beitrag No.7, eingetragen 2023-01-16
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\quoteon(2023-01-16 19:32 - nzimme10 in Beitrag No. 6)
Wenn $f$ zweimal stetig differenzierbar und die Hesse-Matrix in einem kritischen Punkt indefinit ist, dann folgt daraus, dass $f$ in diesem Punkt kein lokales Extremum besitzt.
\quoteoff
So wie $(x,y)\mapsto x^4+y^4$ im Punkt $(0,0)$ ?
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nzimme10
Senior
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| Beitrag No.8, eingetragen 2023-01-16
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
\quoteon(2023-01-16 19:34 - zippy in Beitrag No. 7)
So wie $(x,y)\mapsto x^4+y^4$ im Punkt $(0,0)$ ?
\quoteoff
Die Hesse-Matrix ist die Nullmatrix und daher (siehe meinen letzten Beitrag zu meinem Denkfehler) auch nicht indefinit. Sie ist (positiv oder negativ) semidefinit. Letzteres reicht natürlich (wie du sagst) nicht aus, um auf einen Sattelpunkt zu schließen. (Die Indefinitheit würde aber ausreichen).
LG Nico\(\endgroup\)
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zippy
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| Beitrag No.9, eingetragen 2023-01-16
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\quoteon(2023-01-16 19:35 - nzimme10 in Beitrag No. 8)
(Die Indefinitheit würde aber ausreichen).
\quoteoff
Da sind wir uns einig. Ich hatte den Begriff in Beitrag Nr. 5 benutzt, weil er bei dir auch "Die Einträge der Hessematrix sind in diesem Punkt alle jeweils 0." abzudecken schien.
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nzimme10
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| Beitrag No.10, eingetragen 2023-01-16
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\quoteon(2023-01-16 19:47 - zippy in Beitrag No. 9)
Da sind wir uns einig. Ich hatte den Begriff in Beitrag Nr. 5 benutzt, weil er bei dir auch "Die Einträge der Hessematrix sind in diesem Punkt alle jeweils 0." abzudecken schien.
\quoteoff
Genau das war meine Verwechslung - ich habe das fälschlicherweise als indefinit bezeichnet.
@LaserHeel: Tut mir leid für die Verwechslung. Meine Argumentation ist leider falsch. Die Hesse-Matrix in diesem Punkt hilft uns hier also nicht weiter und es sind andere Überlegungen notwendig.
LG Nico
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