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Gewöhnliche DGL » Theorie der Gew. DGL » Maximale Lösung einer Dgl
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Universität/Hochschule Maximale Lösung einer Dgl
CauchyProdukt
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  Themenstart: 2023-01-16

\(\begingroup\)\(\let\oldemptyset\emptyset \let\emptyset\varnothing\) Hallo, https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/55980_Aufgabe_.png Ich habe schon $J = (-\infty, \ln 2)$ \[ \psi : J \to \mathbb{R}, \qquad x \mapsto \frac{1}{2 - e^x} \] als Lösung von $\psi' = e^x \psi^2$, $\psi(0) = 1$ bestimmt. Ich weiß $\psi'(x) > 0$ sowie $\phi'(x) > 0$ für alle $x \in J$ bzw. $x \in I$, also sind beide Funktionen (streng) monoton steigend. Ich habe auch schon einen Ansatz wie $f(x) := \phi(x) - \psi(x)$ probiert, um die Ungleichung zu zeigen, aber bisher hat es nicht funktioniert. Hat vielleicht jemand einen Tipp?\(\endgroup\)

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semasch
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  Beitrag No.1, eingetragen 2023-01-18

Moin CauchyProdukt, das hier \quoteon(2023-01-16 20:25 - CauchyProdukt im Themenstart) Ich habe auch schon einen Ansatz wie $f(x) := \phi(x) - \psi(x)$ probiert, um die Ungleichung zu zeigen, aber bisher hat es nicht funktioniert. \quoteoff ist auch der richtige Ansatz. Kombiniere die beiden AWP's für $\phi$ und $\psi$ (wie muss das geschehen, dass auf der linken Seite der entsprechenden DGL $f'$ verbleibt?), um ein AWP für $f$ herzuleiten und folgere daraus $f \ge 0$ auf dem Teilbereich $I \cap J \cap [0,\infty)$ des Existenzintervalls von $f$ auf der nichtnegativen Halbachse. Folgere dann per Widerspruchsbeweis, dass $\ln(2) \notin I$. LG, semasch

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