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 Statistisches Modell angeben und Fisher-Information berechnen |
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WagW
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Dabei seit: 15.02.2018
Mitteilungen: 454
 |  Themenstart: 2023-01-17
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Hallo zusammen,
ich weiß nicht ob ich noch ein Verständnisproblem habe oder bei uns im Skript irgendwas falsch ist. Hier der Kontext:
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/49610_Unbenannt456.JPG
1.) Meinem Verständnis nach wird hier ein stochastisches Experiment $n$-mal unabhängig durchgeführt, ansonsten würde ja ein Schätzer, der auf $n$-vielen Beobachtungswerten basiert keinen Sinn machen.
Wir wissen, dass eine Poissonverteilung vorliegt. Man hat also $n$-viele Beobachtungswerte bzw. betrachtet $n$-viele ZVn $X:=(X_1,\dots,X_n)$. Als WSK-Maß ergibt sich dann mit einem unbekanntem Parameter $\vartheta\in]0,\infty[$:
$\begin{align*}
&P_{\vartheta}(\{X=(x_1,\dots,x_n)\})=P_{\vartheta}(\{X_1=x_1\})\cdots P_{\vartheta}(\{X_n=x_n\})\\
&=\frac{e^{-\vartheta}\vartheta^{x_1}}{(x_1!)}\dots \frac{e^{-\vartheta}\vartheta^{x_n}}{(x_n!)}=\frac{e^{-n\vartheta}\vartheta^{\sum\limits_{i=1}^nx_i}}{\prod\limits_{i=1}^n(x_i!)}.
\end{align*}$
Damit erhalte ich das statistische Modell
$
\begin{align*}
&\left(\mathcal{X}=\mathbb{N}_0^n,~~\mathcal{P}(\mathbb{N}_0^n),~~P_{\vartheta}=\frac{e^{-n\vartheta}\vartheta^{\sum\limits_{i=1}^nx_i}}{\prod\limits_{i=1}^n(x_i!)}\text{ mit }\vartheta\in]0,\infty[\right).
\end{align*}
$
Ist das falsch? Oder wieso wird im Beispiel $\left(\mathcal{X}=\mathbb{N}_0,\mathcal{P}(\mathbb{N}_0),P_{\vartheta}=\frac{e^{-\vartheta}\vartheta^{x}}{x!}\text{ mit }\vartheta\in]0,\infty[\right)$
genommen?
2.) Es soll nun in einer Aufgabe die Fisher Information $I(\vartheta):=\mathbb{E}_{\vartheta}\left(\left(\frac{d\ln(P_{\vartheta}(X))}{d\vartheta}\right)^2\right)$ für dieses Beispiel ermittelt werden. Wir haben nun im Skript kurz zuvor gezeigt, dass wenn $(X_1,\dots,X_n)$ unabhängige ZVn mit einer WSK der Art $P_X(\vartheta)=f(X_1,\vartheta)\dots f(X_n,\vartheta)$ sind, dann gilt
$$\mathbb{E}_{\vartheta}\left(\left(\frac{d\ln(P_{\vartheta}(X))}{d\vartheta}\right)^2\right)=n\cdot \mathbb{E}_{\vartheta}\left(\left(\frac{d\ln(P_{\vartheta}(X_i))}{d\vartheta}\right)^2\right).$$
Das würde ich jetzt hier anwenden und komme nach einiger Rechnerei auf $I(\vartheta)=\frac{n}{\vartheta}$.
In der Musterlösung geht man nun anscheinend wieder von einer ZV aus und nicht einem Vektor aus $n$-vielen ZVn. Dort steht nun:
$
\begin{align*}
&I(\vartheta)=\sum\limits_{x=0}^{\infty}\frac{\left(\frac{d\ln(P_{\vartheta}(X))}{d\vartheta}\right)^2}{P_{\vartheta}(X)}=\sum\limits_{x=0}^{\infty}\frac{1}{x!}e^{\vartheta}\vartheta^{-x}\left(-e^{-\vartheta}\vartheta^x+e^{-\vartheta}x\vartheta^{x-1}\right)= \sum\limits_{x=0}^{\infty}\frac{\vartheta^x}{x!}e^{-\vartheta}\left(\frac{x}{\vartheta}-1\right)^2=\mathbb{V}(X)\frac{1}{\vartheta}^2=\frac{1}{\vartheta}.
\end{align*}
$
Meine Lösung weicht ja jetzt nicht groß ab. Aber ich verstehe nicht den Sinn warum $x$ in der Musterlösung plötzlich gegen $\infty$ läuft? Vielleicht kann mir jemand beim Entwirren helfen?
Viele Grüße
WagW
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