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Lineare Algebra » Determinanten » Wenn A^T = -A, dann det(A) = 0 oder 1+1=0
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Universität/Hochschule Wenn A^T = -A, dann det(A) = 0 oder 1+1=0
hanna01
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Dabei seit: 17.11.2022
Mitteilungen: 30
  Themenstart: 2023-01-18

Hallo, die Aufgabe ist, zu zeigen, dass det(A)=0 oder 1+1=0 im Körper K, falls für \(A \in K^{n \times n}\) gilt, dass \(A^T = -A\) und n ungerade. Ich hatte die Idee, -A und A^T jeweils in Dreiecksmatrizen umzuformen, sodass -A unterhalb der Diagonale Nullen hat und A^T oberhalb. Da sich die Determinante dadurch nicht ändert, gelten die Beziehungen immer noch. Dadurch ergibt sich für alle \(a_{ij}\) mit \(i \neq j\), dass entweder \(-a_{ij} = 0\) oder \(a_{ji} = 0\). Da die Matrizen aber gleich sind, sind alle Einträge dort null. Auf der Diagonalen gilt wiederum, dass \(a_{ii} = -a_{ii}\), also \(a_{ii} + a_{ii} = 0\) und das ist nur möglich, falls 1+1=0 in K oder aber \(a_{ii} = 0\), wobei dann die ganze Zeile 0 wäre und die Determinante somit auch. Mir ist klar, dass der Beweis falsch ist, da ich nicht benutzt habe, dass n ungerade ist. Ich glaube mein Fehler liegt schon im Ansatz an sich, weil man die Beziehungen zwischen den Matrizen wahrscheinlich nach Umformung doch nicht einfach so übernehmen darf. Aber mir fällt nichts ein, wo man benutzen müsste, dass n ungerade ist. Es könnte vielleicht mit der Anzahl der Diagonalelemente zusammenhängen, denn sonst spielt n ja gar keine Rolle, aber ich finde da irgendwie keine Verbindung zu dem, was zu zeigen ist. Danke im Voraus schon mal, falls mir jemand weiterhelfen kann.

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zippy
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Mitteilungen: 4428
  Beitrag No.1, eingetragen 2023-01-18

\quoteon(2023-01-18 06:54 - hanna01 im Themenstart) Aber mir fällt nichts ein, wo man benutzen müsste, dass n ungerade ist. \quoteoff $\det(-A)=(-1)^n\cdot\det(A)=-\det(A)$, falls $n$ ungerade ist. --zippy

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hanna01 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.

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