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  Stammfunktion bilden von (x^4+1) / (x^2-1) |
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LeonieMath
Junior 
Dabei seit: 18.01.2023
Mitteilungen: 18
 |  Themenstart: 2023-01-18
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Hallo, das ist mein erster Eintrag, hoffe ich mache alles richtig😄 und zwar möchte ich von der besagten Funktion die Stammfunktion bilden. Durch Polynomdivision bin ich bereits auf x^2+1 + 2/(x^2-1) gekommen. Nun wollte ich die Partialbruchzerlegung davon berechnen. Ich bin auf die zwei NS 1 und -1 gekommen, komme nun aber nicht weiter, da ich nach Umformung 2 = a + b*(x^2-1)/x^2+1 erhalte (kann man von einem IPad aus ein Bild hier hochladen? Würde es wesentlich einfacher machen). Wie gehe ich nun weiter vor? Ich müsste ja wieder Polynomdivision machen, weil Zähler und Nennergrad identisch sind. Da komme ich leider nicht weiter.
Ich hoffe, dass ich hier eine Antwort finde ;)
Viele Grüße, Leonie
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 Profil
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Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10536
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-01-18
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
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\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
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\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo und willkommen hier im Forum!
Ich habe jetzt nicht so ganz verstanden, was du da unter dem Begriff "Partialbruchzerlegung" gemacht hast. Grundsätzlich war der Weg über die Polynomdivision richtig (das Resultat passt auch).
Jetzt musst du doch nur noch \(A\) und \(B\) finden, so dass
\[\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}=\frac{2}{x^2-1}\]
ist.
Dabei sollten im Zähler aber keine quadratischen Terme auftreten.
Gruß, Diophant
[Verschoben aus Forum 'Mathematik' in Forum 'Integration' von Diophant]\(\endgroup\)
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LeonieMath
Junior
Dabei seit: 18.01.2023
Mitteilungen: 18
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-18
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Vielen Dank für die Antwort!
Nun bin ich auf a = 1 und b = -1 gekommen. Ich kann nun umschreiben: f(x) = x²+1+ 1/(x²-1) - 1/(x²+1). Von den letzten 2 Summanden die Stammfunktion zu berechnen ist nun immer noch ein Rätsel für mich. Wie muss ich da weiter vorgehen?
Viele Grüße
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10536
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.3, eingetragen 2023-01-18
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\quoteon(2023-01-18 22:40 - LeonieMath in Beitrag No. 2)
Nun bin ich auf a = 1 und b = -1 gekommen. Ich kann nun umschreiben: f(x) = x²+1+ 1/(x²-1) - 1/(x²+1). Von den letzten 2 Summanden die Stammfunktion zu berechnen ist nun immer noch ein Rätsel für mich. Wie muss ich da weiter vorgehen?
\quoteoff
Das ist ja auch immer noch falsch. Schaue dir meinen Ansatz an, dann sollte (mit \(x^2-1=(x-1)(x+1)\)) klar sein:
\[\frac{x^4+1}{x^2-1}=x^2+1+\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\]
Und das sollte jetzt in Sachen Stammfunktion ja kein Problem mehr darstellen, oder? 😉
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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LeonieMath
Junior
Dabei seit: 18.01.2023
Mitteilungen: 18
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2023-01-18
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Huch genau, vielen Dank ;)
Haben Sie noch einen schönen Abend
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LeonieMath hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Das Thema wurde von einem Senior oder Moderator abgehakt. |
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